درس التسارع العجلة بالترتيب
درس التسارع العجلة بالترتيب
تجربة استهلالية
هل تبدو جميع أنواع الحركة بالشكل نفسه عندما نمثلها بيانياً؟
سؤال التجربة
كيف تقارن الرسم البياني لحركة سيارة ذات سرعة منتظمة بالرسم البياني لحركة سيارة تتزايد سرعتها؟
الخطوات
- أحضر سيارتين لعبة تعملان بنابض، وضع لوحاً خشبياً مناسباً فوق سطح الطاولة لتمثيل مسار حركة السيارتين.
- ثبت المؤقت ذا الشريط الورقي على أحد طرفي اللوح.
- قص قطعة من شريط المؤقت طولها 50 cm، وأدخلها في المؤقت، ثم ألصق الطرف الآخر بالسيارة رقم 1، حيث يستخدم الشريط الورقي أداة لرسم مخطط الجسم النقطي.
- دون رقم السيارة على الشريط، وشغل المؤقت، وأطلق السيارة.
- ارفع الطرف الثاني للوح الخشبي بمقدار 8-10 cm، بوضع مكعبات خشبية أسفل طرفه.
- كرر الخطوات 3-5 مستخدماً السيارة رقم 2، بوضع السيارة ملاصقة للمؤقت وإطلاقها بعد تشغيله. أمسك السيارة قبل سقوطها عن حافة اللوح الخشبي.
- سجل البيانات ونظمها. حدد ثاني نقطة داكنة سوداء على شريط المؤقت على أنها الصفر. قس المسافة بين نقطة الصفر وكل من النقاط الأخرى لعشر فترات زمنية، ثم دون القراءات.
- أنشئ الرسوم البيانية واستخدمها. مثل بيانياً المسافة الكلية مع رقم الفترة الزمنية. عين القراءات لكلتا السيارتين على الرسم نفسه، ودون رقم السيارة على الرسم البياني الذي يمثلها.
التحليل
أي السيارتين تحركت بسرعة منتظمة، وأيهما ازدادت سرعتها؟ وضح كيف توصلت إلى ذلك من خلال فحصك لشريط المؤقت.
التفكير الناقد
صف شكل كل من الرسمين البيانيين. ما علاقة شكل الخط البياني بنوع الحركة التي شاهدت؟
3-1 التسارع العجلة
Acceleration
الأهداف
- تعرف التسارع العجلة.
- تربط بين السرعة المتجهة والتسارع مع حركة الجسم.
- تمثل بيانياً العلاقة بين السرعة المتجهة والزمن.
المفردات
- منحنى السرعة المتجهة - الزمن.
- التسارع.
- التسارع المتوسط.
- التسارع اللحظي.
الحركة المنتظمة من أبسط أنواع الحركة، وكما درست في الفصل الثاني، فإن الجسم الذي يتحرك حركة منتظمة يسير بسرعة ثابتة في خط مستقيم، ولعلك تدرك من خبراتك اليومية أن عدداً قليلاً من الأجسام يتحرك بهذه الطريقة طوال الوقت.
في هذا الفصل ستزيد معلوماتك في هذا المجال، بتعرف نوع من الحركة أكثر تعقيداً، وستدرس حالات تتغير خلالها سرعة جسم، بينما يبقى مساره مستقيماً. وستدرس كذلك أمثلة تتضمن سيارات تتزايد سرعتها، واستخدام سائقي السيارات للفرامل، والأجسام الساقطة، والأجسام المقذوفة رأسياً إلى أعلى.
تغير السرعة المتجهة
Changing Velocity
تستطيع أن تشعر بالفرق بين الحركة المنتظمة والحركة غير المنتظمة؛ فالحركة المنتظمة تمتاز بسلاستها، فإذا أغمضت عينيك لا تشعر بالحركة. وعلى النقيض من ذلك، عندما تتحرك على مسار منحنٍ أو صعوداً وهبوطاً كما هو الحال عند ركوب العجلة الدوارة في متنزه الألعاب تشعر بأنك تدفع أو تسحب.
تأمل المخططات التوضيحية للحركة المبينة في الشكل 3-1. كيف تصف حركة العداء في كل حالة؟ في الشكل a لا يتحرك العداء، أما في الشكل b فيتحرك بسرعة منتظمة، وفي الشكل c يزيد من سرعته، أما في الشكل d فيتباطأ. كيف استطعت استنتاج ذلك؟ ما المعلومات التي تتضمنها المخططات التوضيحية، ويمكن استخدامها للتمييز بين الحالات المختلفة للحركة؟
إن أهم ما يجب عليك ملاحظته في هذه المخططات التوضيحية هو المسافة بين المواقع المتعاقبة للعداء. وكما درست في الفصل الثاني أن الأجسام غير المتحركة في خلفية المخططات التوضيحية للحركة لا تتغير مواقعها؛ لأنه توجد صورة واحدة فقط للعداء في الشكل 3-1a فإنك تستنتج أنه لا يتحرك، أي أنه في حالة سكون. ويشبه الشكل 3-1b المخطط التوضيحي لحركة جسم بسرعة منتظمة في الفصل الثاني؛ لأن المسافات بين صور العداء في الرسم متساوية، لذا فإن العداء يتحرك بسرعة منتظمة. أما في المخططين التوضيحيين الآخرين فتتغير المسافة بين المواقع المتتالية؛ فإذا كان التغير في الموقع يزيد تدريجياً فهذا يعني أن العداء يزيد من سرعته، كما في الشكل 3-1c. أما إذا كان التغير في الموقع يقل، كما في الشكل 3-1d، فإن العداء يتباطأ.
الشكل 3-1
بملاحظة المسافة التي يتحركها العداء خلال فترات زمنية متساوية يمكنك أن تحدد هل إذا كان العداء:
a. يقف ساكناً.
b. يتحرك بسرعة منتظمة.
c. يتسارع.
d. يتباطأ.
تجربة
سباق الكرة الفولاذية
سؤال التجربة
إذا أفلتت كرتان من الفولاذ في اللحظة نفسها من قمة منحدرين، فهل تتقاربان أو تتباعدان أو تبقيان متجاورتين في أثناء تدحرجهما؟
الخطوات
- اعمل مستوى مائلاً باستخدام أنبوب طويل فيه مجرى على شكل حرف U، أو استعمل مسطرتين متوازيتين ملتصقتين معاً.
- حدد علامة على بعد 40 cm من قمة المستوى المائل، وعلامة أخرى على بعد 80 cm من القمة أيضاً.
- توقع ما إذا كانت الكرتان ستتقاربان أو تتباعدان أو تبقى المسافة بينهما ثابتة في أثناء تدحرجهما إلى أسفل المستوى المائل.
- أفلت الكرة الأولى من قمة المستوى المائل، وفي اللحظة نفسها أفلت الكرة الأخرى من العلامة التي تبعد 40 cm عن القمة.
- أعد التجربة، بحيث تنطلق إحدى الكرتين من قمة المستوى المائل، وعندما تصل إلى العلامة 40 cm أفلت الأخرى من القمة أيضاً.
التحليل والاستنتاج
- اشرح مشاهداتك مستخدماً مصطلحات السرعة.
- هل كان للكرتين الفولاذيتين السرعة نفسها في أثناء تدحرجهما على المستوى المائل؟ وضح ذلك.
- هل كان لهما التسارع نفسه؟ وضح ذلك.
استخدام نموذج الجسم النقطي للحركة
كيف يمثل المخطط التوضيحي للحركة باستخدام نموذج الجسم النقطي؟ يبين الشكل 3-2 المخططات التوضيحية للحركة باستخدام النموذج الجسيمي النقطي، فيسهل المقارنة بينها؛ حيث تظهر سرعة الجسم من خلال المسافات المتساوية أو المتزايدة أو المتناقصة بين النقاط.
الشكل 3-2
عندما تستخدم النموذج الجسيمي النقطي لوصف حركة جسم، فإنك تستطيع تحديد ما إذا كان الجسم ساكناً أو يتحرك بسرعة منتظمة أو تتزايد سرعته أو يتباطأ من خلال تباعد النقاط أو تقاربها.
منحنى السرعة المتجهة - الزمن
Velocity-Time Graph
يمكنك استخدام الرسم البياني لمنحنى السرعة المتجهة - الزمن لوصف الحركة. ويعبر هذا الرسم عن العلاقة بين السرعة المتجهة لجسم والزمن.
إذا تحرك جسم بسرعة منتظمة فإن منحنى السرعة المتجهة - الزمن يكون خطاً أفقياً؛ لأن السرعة لا تتغير مع الزمن. أما إذا كانت السرعة تزداد أو تنقص فإن الخط البياني لا يكون أفقياً.
يمثل الجدول 3-1 بيانات حركة سيارة تتحرك بسرعة متزايدة، ويوضح الشكل 3-3 منحنى السرعة المتجهة - الزمن لهذه البيانات. يزداد مقدار السرعة المتجهة للسيارة بمقدار 5.00 m/s كل ثانية، وهذا يعني أن السيارة تزداد سرعتها بمعدل منتظم.
الجدول 3-1
السرعة المتجهة - الزمن
| الزمن t (s) | السرعة المتجهة v (m/s) |
| ----------- | ---------------------- |
| 0.00 | 0.00 |
| 1.00 | 5.00 |
| 2.00 | 10.0 |
| 3.00 | 15.0 |
| 4.00 | 20.0 |
| 5.00 | 25.0 |
الشكل 3-3
يمثل الرسم البياني علاقة السرعة المتجهة بالزمن لحركة جسم تتغير سرعته بانتظام.
يتضح من الرسم البياني أن الميل يساوي:
(10.0 m/s) / (2.00 s) = 5.00 m/s²
أي أن السرعة تتغير بمعدل 5.00 m/s كل ثانية. فإذا كانت سرعة السيارة عند الزمن 4.00 s تساوي 20.0 m/s، فإن سرعتها عند الزمن 5.00 s تصبح 25.0 m/s. وتزداد سرعة السيارة بمقدار 5.0 m/s خلال كل فترة زمنية مقدارها 1.00 s.
التسارع المتوسط والتسارع اللحظي
Average and Instantaneous Acceleration
التسارع المتوسط هو التغير في السرعة المتجهة لجسم خلال فترة زمنية مقسوماً على هذه الفترة الزمنية. وتقاس السرعة المتجهة بوحدة m/s، أما الفترة الزمنية فتقاس بوحدة s؛ لذلك تكون وحدة التسارع m/s².
يمكنك إيجاد التسارع المتوسط لجسم ما من خلال حساب ميل منحنى السرعة المتجهة - الزمن. وإذا كان التسارع ثابتاً فإن السرعة المتجهة تتغير بمقادير متساوية خلال فترات زمنية متساوية.
أما التسارع اللحظي فهو التسارع في لحظة محددة. وفي حالة الحركة المنتظمة التسارع يكون صفراً، أما في الحركة التي تتغير فيها السرعة فإن التسارع قد يكون موجباً أو سالباً بحسب اتجاه تغير السرعة.
التسارع في نموذج الجسم النقطي
Acceleration on a Particle - Model
لوصف حركة جسم متسارع باستخدام نموذج الجسم النقطي، يمكن رسم متجهات السرعة عند مواقع متتالية. ثم يتم إيجاد التغير في السرعة المتجهة Δv بطرح السرعة الابتدائية vi من السرعة النهائية vf.
يعبر عن التغير في السرعة المتجهة بالعلاقة:
Δv = vf - vi
وبما أن:
vf - vi = vf + (-vi)
فإن التسارع المتوسط يساوي:
a = Δv / Δt
أو:
a = (vf - vi) / Δt
وفي الشكلين 3-4a و 3-4b تكون الفترة الزمنية Δt = 1.0 s، لذلك يكون التسارع المتوسط:
a = (vf - vi) / 1 s
الشكل 3-4
يوضح المخطط كيفية تحديد متجه التسارع من خلال متجهي السرعة الابتدائية والنهائية. ويكون اتجاه التسارع في اتجاه التغير في السرعة المتجهة.
مثال 1
تحديد التسارع
كيف تصف سرعة العداء المتجهة وتسارعه من خلال منحنى السرعة المتجهة - الزمن المبين في الشكل المجاور؟
1 تحليل المسألة ورسمها
تفحص الرسم البياني لتلاحظ أن سرعة العداء النهائية تقترب من 10.0 m/s، وأن الفترة الزمنية تمتد من بداية الحركة إلى عدة ثوان.
المعلوم:
vf = 10.0 m/s تقريباً
vi = 4.0 m/s تقريباً
t = 5.0 s أو الفترة المحددة من الرسم
المجهول:
a = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
ارسم مماساً للمنحنى عند الزمن t = 1.5 s، ثم احسب ميل المماس لإيجاد التسارع عند هذه اللحظة.
a = Δv / Δt
a = (10.0 m/s - 4.0 m/s) / (3.0 s - 0.0 s)
a = 2.0 m/s²
وبالطريقة نفسها عند الزمن t = 5.0 s يكون الميل صغيراً جداً، فيكون التسارع قريباً من:
a = 0.030 m/s²
وهذا يدل على أن العداء يتسارع كثيراً عند البداية، ثم يقل تسارعه عندما يقترب من سرعته النهائية.
3 تقويم الجواب
هل الوحدات صحيحة؟ نعم، لأن التسارع يقاس بوحدة m/s².
مسائل تدريبية
- ركبت نقطة مضيئة صغيرة في طرف إطار من إطار دراجة، وأدير الإطار بحيث تحركت النقطة حركة دورانية. ارسم نموذج الجسم النقطي للحركة في موضع هذا الموقع، واستخدم متجهات السرعة لوصف حركتها.
- يمثل الشكل 3-5 منحنى السرعة المتجهة - الزمن لحركة عداء. صف حركة العداء المبينة في الرسم البياني.
- استعن بالشكل 3-6 الذي يوضح منحنى السرعة المتجهة - الزمن لحركة سيارة في شارع مستقيم.
a. هل كان النظام يتحرك بسرعة منتظمة؟
b. هل تغيرت سرعة النظام؟
c. متى كان للجسم أكبر تسارع موجب؟
d. متى كان له أكبر تسارع سالب؟
- استعن بالشكل 3-6 للإجابة عن السؤال الآتي: احسب التسارع المتوسط للفترة الزمنية الآتية:
a. من 0.0 s إلى 5.0 s.
b. من 15.0 s إلى 20.0 s.
c. من 20.0 s إلى 40.0 s.
- تحركت دراجة من السكون بتسارع ثابت، فوصلت سرعتها إلى 2.0 m/s بعد 4.0 s، ثم استمرت بتسارع آخر حتى وصلت سرعتها إلى 12.0 m/s عند نهاية فترة أخرى، وبعد ذلك استمرت بتسارع منتظم مقداره 0.25 m/s² مدة 4.0 s. مثل الحركة بيانياً.
التسارع الموجب والتسارع السالب
Positive and Negative Acceleration
تأمل الحالات الآتية الموضحة في الشكل 3-7؛ حيث يتحرك الجسم أحياناً في الاتجاه الموجب وأحياناً في الاتجاه السالب، كما أن التسارع قد يكون في اتجاه حركة الجسم أو في عكسها.
إذا كان اتجاه التسارع في اتجاه السرعة المتجهة نفسها فإن مقدار السرعة يزداد، وإذا كان التسارع في عكس اتجاه السرعة المتجهة فإن مقدار السرعة يقل. لذلك لا يكفي أن نقول إن التسارع موجب أو سالب فقط، بل يجب النظر إلى اتجاه السرعة المتجهة واتجاه التسارع معاً.
في الرسم التوضيحي الأول، يتحرك الجسم في الاتجاه الموجب وتزداد سرعته، لذلك يكون التسارع موجباً. وفي الرسم الثاني يتحرك الجسم في الاتجاه الموجب ولكن سرعته تقل، فيكون التسارع سالباً. وفي الرسم الثالث يتحرك الجسم في الاتجاه السالب وتزداد سرعته في الاتجاه السالب، فيكون التسارع سالباً. أما إذا تحرك الجسم في الاتجاه السالب وقلت سرعته، فإن التسارع يكون موجباً.
الشكل 3-7
يوضح النموذج الجسيمي النقطي ومتجهات السرعة والتسارع العلاقة بين اتجاه السرعة المتجهة واتجاه التسارع. قد يؤدي التسارع إلى زيادة مقدار السرعة أو نقصانه وفقاً لاتجاهه بالنسبة لاتجاه الحركة.
حساب التسارع من منحنى السرعة المتجهة - الزمن
Determining Acceleration from a v-t Graph
إن منحنيات السرعة المتجهة - الزمن لحركة مستقيمة يمكن أن تكون بخطوط مستقيمة أو منحنيات. وتمثل الخطوط المختلفة في الشكل 3-8 حالات متنوعة للحركة.
إذا كان الخط البياني أفقياً فإن السرعة المتجهة ثابتة، ويكون التسارع صفراً. وإذا كان الخط البياني مائلاً إلى أعلى فإن التسارع موجب، وإذا كان مائلاً إلى أسفل فإن التسارع سالب. وكلما كان ميل الخط أكبر كان مقدار التسارع أكبر.
الشكل 3-8
يبين الرسم مجموعة من منحنيات السرعة المتجهة - الزمن. تستخدم هذه المنحنيات لتحديد هل التسارع موجب أو سالب أو يساوي صفراً، وهل مقدار التسارع كبير أو صغير.
ميل الخط وتسارع الجسم
كيف يمكنك أن تحسب التسارع بيانياً؟ احسب التسارع المتوسط بإيجاد ميل الخط البياني في منحنى السرعة المتجهة - الزمن، ويرمز له بالرمز a.
التسارع المتوسط
a = Δv / Δt = (vf - vi) / (tf - ti)
التسارع المتوسط يساوي التغير في السرعة المتجهة مقسوماً على الزمن الذي حدث خلاله هذا التغير.
مثال على الحساب من الرسم:
a = Δv / Δt
a = (4.0 m/s - 8.0 m/s) / (5.0 s - 10.0 s)
a = -0.80 m/s²
وتدل الإشارة السالبة على أن التسارع في الاتجاه السالب.
مثال 2
التسارع
تتحرك طائرة على مدرج هبوط مستقيم بسرعة ابتدائية مقدارها 2.50 m/s، وبعد 5.00 s أصبحت سرعتها 0.00 m/s. ما التسارع المتوسط للطائرة؟
1 تحليل المسألة ورسمها
ارسم نموذجاً للجسم النقطي.
ارسم منحنى السرعة المتجهة - الزمن.
المعلوم:
vi = 2.5 m/s
vf = 0.00 m/s
ti = 0.00 s
tf = 5.00 s
المجهول:
a = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
a = Δv / Δt
Δv = vf - vi
Δv = 0.00 m/s - 2.50 m/s
Δv = -2.50 m/s
Δt = tf - ti
Δt = 5.00 s - 0.00 s
Δt = 5.00 s
a = -2.50 m/s / 5.00 s
a = -0.500 m/s²
إذن تسارع الطائرة يساوي:
a = -0.500 m/s²
أي أن التسارع في الاتجاه المعاكس لحركة الطائرة على المدرج.
3 تقويم الجواب
هل الوحدات صحيحة؟ نعم، فالتسارع يقاس بوحدة m/s².
هل للإشارة معنى؟ نعم، لأن الإشارة السالبة تعني أن التسارع في عكس اتجاه السرعة المتجهة الابتدائية، أي أن الطائرة تتباطأ.
مسائل تدريبية
- تتحرك سيارة سباق فتزداد سرعتها من 4.0 m/s إلى 36 m/s خلال فترة زمنية مقدارها 4.0 s. ما تسارعها المتوسط؟
- تتباطأ سيارة سرعتها من 36 m/s إلى 15 m/s خلال 3.0 s. ما تسارعها المتوسط؟
- يتحرك جسم من السكون بتسارع منتظم على سطح أفقي؛ استعمل قانون التسارع المتوسط لتحديد سرعته النهائية أو الزمن اللازم حسب المعطيات.
- تسير سيارة بسرعة ابتدائية مقدارها 25 m/s، ثم تضغط السائق على الفرامل، فتتباطأ السيارة حتى تتوقف خلال زمن محدد. احسب التسارع المتوسط، وحدد اتجاهه.
- تتحرك عربة بسرعة ابتدائية مقدارها 2.0 m/s، وتتسارع بانتظام حتى تصل إلى سرعة أكبر خلال فترة زمنية معينة. احسب التسارع المتوسط، وحدد كيف يتغير موقعها خلال هذه الفترة.
- في لعبة، تتحرك سيارة صغيرة على مسار مستقيم بتسارع منتظم. إذا تغيرت سرعتها بمقدار معين خلال زمن محدد، فاحسب التسارع المتوسط، وفسر معنى الإشارة الموجبة أو السالبة للتسارع.
علاقة السرعة المتجهة بالتسارع
تصف السرعة المتجهة حركة جسم من حيث مقدار السرعة واتجاهها، أما التسارع فيصف معدل تغير هذه السرعة المتجهة. فإذا كانت السرعة المتجهة ثابتة فإن التسارع يساوي صفراً. وإذا زادت السرعة أو نقصت أو تغير اتجاه الحركة فإن الجسم يكون متسارعاً.
عندما يكون التسارع في اتجاه السرعة المتجهة يزداد مقدار السرعة، وعندما يكون في عكس اتجاه السرعة المتجهة يقل مقدار السرعة. ولذلك يجب دائماً عند تحليل الحركة تحديد كل من اتجاه السرعة واتجاه التسارع.
3-1 مراجعة
- منحنى السرعة المتجهة - الزمن
ما المعلومات التي يمكن استخلاصها من منحنى السرعة المتجهة - الزمن؟
- منحنى السرعة المتجهة - الزمن
يمثل الشكل حركة جسم تتحرك سرعته المتجهة من قيمة ابتدائية إلى قيمة نهائية خلال زمن معين. استخدم الرسم البياني لتحديد التسارع المتوسط.
- التسارع المتوسط
وضح الفرق بين التسارع المتوسط والتسارع اللحظي.
- منحنى السرعة المتجهة - الزمن
يمثل الرسم البياني حركة جسم انطلق من السكون ثم ازدادت سرعته بانتظام. احسب التسارع من ميل الخط البياني.
- السرعة المتجهة المتوسطة والتسارع المتوسط
يتحرك جسم بسرعة متجهة ابتدائية مقدارها 2 m/s، وبعد زمن معين تصبح سرعته 8 m/s. احسب التسارع المتوسط وحدد اتجاهه.
- التفكير الناقد
يركض رجل بسرعة منتظمة مقدارها 32 km/h، ثم يركض صعوداً على تل فتقل سرعته. يراقبه شخص آخر ويصف حركته بأنها حركة متباطئة. هل يعد هذا الوصف صحيحاً؟ وضح إجابتك، وارسم منحنى مناسباً يوضح العلاقة بين السرعة المتجهة والزمن.
جاري تحضير الدرس المعاد صياغته وبناء الأنماط
نحافظ على المعنى العلمي ونربط كل فقرة بنواتجها ومفاهيمها.
إعادة إنتاج الدرس حسب نمط التعلم
طلب واحد ينتج المسارات البصري والسمعي والحركي والقرائي معًا، بصياغة تراعي سياق المناهج السعودية.
اختر نمط التعلم
تُنتج الأنماط الأربعة دفعة واحدة، ثم تُستدعى الحزمة المحفوظة في الزيارات التالية.