السرعة المتجهة
2-4 السرعة المتجهة
Velocity
الأهداف
- تعرف السرعة المتجهة.
- تقارن بين مفهومي السرعة والسرعة المتجهة.
- تصمم تمثيلات تصويرية وفيزيائية ورياضية لمسائل الحركة.
المفردات
- السرعة المتجهة المتوسطة.
- السرعة المتوسطة.
- السرعة المتجهة اللحظية.
تعلمت كيف تستعمل المخطط التوضيحي للحركة لتمثيل حركة جسم. كيف يمكنك قياس سرعة حركته؟ يمكنك تحديد تغير الموقع والزمن اللازم باستخدام أدوات، منها شريط القياس المتري وساعة الإيقاف، ثم استخدام هذه البيانات لوصف معدل تغير الحركة.
السرعة المتجهة
Velocity
افترض أنك مثلت حركتي عداءين على مخطط توضيحي واحد، كما هو مبين في الشكل 2-20a. بالانتقال من صورة إلى الصورة التي تليها، يمكنك أن ترى أن موقع العداء ذي الرداء الرمادي يتغير بمقدار أكبر من تغير موقع العداء ذي الرداء الآخر؛ أي أن مقدار الإزاحة للعداء ذي الرداء الرمادي Δd أكبر، لأنه يتحرك أسرع أي يقطع مسافة أكبر من تلك التي يقطعها اللاعب ذو الرداء الآخر خلال الفترة الزمنية نفسها. وإذا افترضنا أنهما كليهما قد قطع مسافة 100.0 m، فإن الفترة الزمنية Δt التي استغرقها العداء ذو الرداء الرمادي ستكون أقل من تلك التي استغرقها زميله.
السرعة المتجهة المتوسطة من مثال العداءين، يمكنك أن تلاحظ أنك تحتاج إلى معرفة كل من الإزاحة Δd والفترة الزمنية Δt لحساب السرعة المتجهة لجسم متحرك. ولكن كيف يمكنك الربط بينهما؟ لتفحص الخطين البيانيين الممثلين لحركة العداءين في منحنى الموقع - الزمن، انظر الشكل 2-20b. ستلاحظ أن ميل الخط البياني للعداء ذي الرداء الرمادي أكثر انحداراً من ميل الخط البياني للعداء ذي الرداء الآخر، ويدل الميل أو الانحدار الأكبر على أن مقدار التغير في الإزاحة أكبر خلال الفترة الزمنية نفسها.
الشكل 2-20
a. إزاحة العداء ذي الرداء الرمادي أكبر من إزاحة العداء ذي الرداء الأحمر خلال الفترات الزمنية الثلاث؛ لأن الأول يتحرك أسرع من الثاني.
b. يمثل منحنى الموقع - الزمن حركة كل من العداءين، والنقاط المستخدمة لحساب ميل كل خط.
يمكن إيجاد كل من ميلي الخطين البيانيين الممثلين لحركتي العداءين في الشكل 2-20b كما يأتي:
العداء ذو الرداء الرمادي
ميل الخط البياني = df - di / tf - ti
= (6.0 - 2.0) m / (3.0 - 1.0) s
= 2.0 m/s
العداء ذو الرداء الأحمر
ميل الخط البياني = df - di / tf - ti
= (3.0 - 2.0) m / (3.0 - 2.0) s
= 1.0 m/s
دلالة اللون
- متجهات السرعة باللون الأحمر.
- متجهات الإزاحة باللون الأخضر.
هناك أشياء مهمة تجدر ملاحظتها في هذه المقارنة. أولاً: ميل الخط البياني للعداء الأسرع يكون أكبر عددياً؛ لذا من المعقول أن يعبر هذا العدد عن السرعة المتجهة المتوسطة، وكذلك السرعة المتوسطة. ثانياً: إن وحدات الميل هي m/s؛ أي أن الميل يخبرنا كم متراً تحرك العداء خلال ثانية واحدة. وعند التفكير في طريقة حساب الميل، ستلاحظ أنها تماثل حساب ميل الخط البياني في الرياضيات، كما في العلاقة:
v = Δd / Δt = (df - di) / (tf - ti)
وعندما تزداد قيمة متجه الإزاحة Δd فإن الميل يزداد، ويقل عندما تزداد Δt. وهذا يتفق مع التفسير السابق لحركتي العداءين.
السرعة المتجهة المتوسطة
يمثل ميل الخط البياني في منحنى الموقع - الزمن لأي جسم متحرك السرعة المتجهة المتوسطة لهذا الجسم، ويكتب على شكل نسبة بين التغير في الموقع والفترة الزمنية التي حدث فيها هذا التغير.
v = Δd / Δt = (df - di) / (tf - ti)
تعرف السرعة المتجهة المتوسطة بأنها التغير في الموقع، الإزاحة، مقسوماً على مقدار الفترة الزمنية التي حدث خلالها هذا التغير.
الشكل 2-21
يتحرك الجسم الممثل حركته هنا في الاتجاه السالب بمعدل 5.0 m/s.
من الأخطاء الشائعة القول إن ميل الخط البياني للموقع - الزمن يمثل سرعة الجسم فحسب. تأمل ميل الخط البياني للموقع - الزمن في الشكل 2-21. إن ميل هذا الخط يساوي -5.0 m/s، وهو كمية تشير إلى المقدار والاتجاه. تذكر أن السرعة المتجهة المتوسطة كمية لها مقدار واتجاه، وفي الحقيقة إن ميل الخط البياني، وهو عن التغير في الموقع على مدى الفترة الزمنية، يدل على السرعة المتجهة المتوسطة للجسم، لا على مقدار سرعته.
عند تأمل الشكل 2-21 مرة أخرى تجد أن ميل الخط البياني هو -5.0 m/s، وبذلك فإن سرعة الجسم المتجهة هي -5.0 m/s، وهذا يعني أن الجسم انطلق من موقع موجب متجهاً نحو نقطة الأصل، أي متحركاً في الاتجاه السالب بمعدل 5.0 m/s.
أما السرعة المتوسطة فهي القيمة المطلقة لميل الخط البياني لمنحنى الموقع - الزمن عن المنحنى للجسم. أي مقدار سرعة حركة الجسم، ويرمز لها بالرمز v. أما السرعة المتوسطة فلا تعبر عن كل من قيمة السرعة المتوسطة للجسم والاتجاه الذي يتحرك فيه، وهي في المثال الموضح في الشكل 2-21 تساوي 5.0 m/s في الاتجاه السالب، أو -5.0 m/s، وتكون سرعة المتوسطة 5.0 m/s.
تذكر أنه إذا تحرك جسم في الاتجاه السالب فإن إزاحته تكون سالبة، وهذا يعني أن سرعته المتجهة يكون لها إشارة إزاحة الجسم نفسها.
عندما تمثل في الفصول القادمة أنواعاً أخرى من الحركة، سوف تجد أحياناً أن السرعة المتجهة المتوسطة هي كمية مهمة، وفي أحيان أخرى تكون السرعة المتوسطة هي الكمية الأهم. لذا من الضروري أن تميز بين السرعة المتجهة المتوسطة والسرعة المتوسطة، وأن تكون متمكناً من الاستخدام الصحيح لكل منهما.
تطبيق الفيزياء
نظام تمارا
يقيس السرعة المتجهة اللحظية لجسم عن طريق تحديد السرعة خلال فترة قصيرة جداً، وهي لحظة إطلاق القذائف من مدفع الدبابة.
حاسوب السيارة
يعطي عداد الاتجاه AVG لحساب سرعة السيارة الكلية خلال رحلة ليست بالمسافة الكلية خلال الزمن الكلي دون اعتبار الاتجاه.
نظام الرصد الآلي
يقيس السرعة المتجهة اللحظية في جسم، عبر السيارات المخالفة للحدود، موضحاً مع إمكانية تحديد الاتجاه.
مثال 3
يبين الرسم البياني المجاور حركة طالب يركب لوح تزلج عبر ممر المشاة مهمل الاحتكاك. ما سرعته المتجهة المتوسطة؟ وما سرعته المتوسطة؟
1 تحليل المسألة ورسمها
تفحص النظام الإحداثي للرسم البياني.
المجهول:
v = ?
v = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
أوجد السرعة المتجهة المتوسطة باستخدام نقطتين على الخط البياني:
v = Δd / Δt = (d2 - d1) / (t2 - t1)
= (12.0 m - 6.0 m) / (7.0 s - 3.5 s)
= 1.7 m/s
في الاتجاه الموجب
بالتعويض:
d2 = 12.0 m
d1 = 6.0 m
t2 = 7.0 s
t1 = 3.5 s
أما السرعة المتوسطة فتساوي القيمة المطلقة للسرعة المتجهة المتوسطة؛ أي:
v = 1.7 m/s
3 تقويم الجواب
هل الوحدات صحيحة؟ نعم، فالوحدة m/s هي وحدة قياس كل من السرعة المتجهة والسرعة.
هل للإشارات معنى؟ نعم، فالإشارة الموجبة للسرعة المتجهة المتوسطة تتفق مع النظام الإحداثي، ولا تحدد اتجاه للسرعة المتوسطة.
مسائل تدريبية
- يصف الرسم البياني في الشكل 2-22 حركة سفينة في البحر، ويعد الاتجاه الموجب للحركة هو اتجاه الجنوب.
a. ما السرعة المتوسطة للسفينة؟
b. ما السرعة المتجهة المتوسطة للسفينة؟
- صف بالكلمات حركة السفينة في المسألة السابقة.
- يمثل الرسم البياني في الشكل 2-23 حركة دراجة هوائية. احسب كلاً من السرعة المتوسطة والسرعة المتجهة المتوسطة للدراجة، ثم صف حركتها بالكلمات.
- انطلقت دراجة من السكون بسرعة ثابتة مقدارها 0.55 m/s. ارسم نموذجاً للجسيم النقطي للحركة ومنحنى بيانياً للموقع - الزمن، تبين فيها حركة الدراجة لمسافة 19.8 m.
السرعة المتجهة اللحظية
Instantaneous Velocity
لماذا قلنا على الكمية Δd / Δt السرعة المتجهة المتوسطة، ولم نسمها ببساطة السرعة المتجهة؟ فكر في طريقة إنشاء المخطط التوضيحي للحركة. إذا كان هناك تغير في السرعة بين موقع الجسم المتحرك عند بداية فترة زمنية وعند نهايتها، لكنه لا يعبر عما يحدث خلال تلك الفترة.
فربما بقيت السرعة ثابتة أو زادت أو نقصت، أو ربما يكون الجسم قد توقف أو غير اتجاهه، إن كل ما يمكن تحديده من خلال المخطط التوضيحي للحركة هو السرعة المتجهة المتوسطة، التي يمكن حسابها بقسمة الإزاحة الكلية على الفترة الزمنية التي حدثت الإزاحة خلالها.
أما السرعة المتجهة عند لحظة زمنية تؤول إلى الصفر فتسمى السرعة المتجهة اللحظية، وتستخدم غالباً في هذا الكتاب مصطلح السرعة المتجهة للتعبير عن السرعة المتجهة اللحظية، وسنرمز لها بالرمز v.
إذا كانت السرعة المتجهة اللحظية لجسم ما ثابتة فإنها عندئذ تكون مساوية لسرعته المتجهة المتوسطة. وإذا تحرك الجسم بسرعة متجهة ثابتة فإننا نقول إن سرعته منتظمة، لذا تكون حركته منتظمة.
تجربة
متجهات السرعة اللحظية
- اربط أحد طرفي خيط طوله 1 m بكتلة ذات خطاف.
- أمسك بيدك الطرف الآخر للخيط بحيث تتدلى الكتلة في الهواء.
- استخدم يدك الأخرى لتسحب الكتلة بحذر إلى أحد الجانبين ثم اتركها.
- لاحظ الحركة والسرعة واتجاه حركة الكتلة عندما تهتز.
- أوقف الكتلة عن الاهتزاز.
- ارسم شكلاً توضيحياً تبين فيه متجهات السرعة اللحظية عند النقاط الآتية: قمة الاهتزاز، ونقطة المنتصف بين القمة والقاع، وقاع الاهتزاز، ونقطة المنتصف بين القاع والقمة، والقمة مرة أخرى.
التحليل والاستنتاج
- أين تكون السرعة المتجهة أكبر ما يمكن؟
- أين تكون السرعة المتجهة أقل ما يمكن؟
- وضح كيف يمكن قياس السرعة المتوسطة باستخدام المتجهات؟
تمثيل السرعة المتجهة المتوسطة على المخططات التوضيحية للحركة
Average Velocity on Motion Diagrams
كيف يمكنك تعيين السرعة المتجهة المتوسطة على المخطط التوضيحي للحركة؟ إن المخطط التوضيحي للحركة ليس رسماً بيانياً دقيقاً للسرعة المتجهة المتوسطة، وإنما يمكن استخدامه في تعيين مقدار واتجاه السرعة المتجهة المتوسطة.
تخيل سيارتين تسيران على طريق بسرعتين مختلفتين، وتسجل كاميرا فيديو حركتيهما بمعدل صورة لكل ثانية، وتخيل أنه في مؤخرة كل سيارة فرشتا دهان تخطان أثراً كل ثانية. ارسم خطاً على الأرض لمدة نصف ثانية ثابتة. من المنطقي أن ترسم السيارة الأسرع خطاً أطول، وتشبه الخطوط التي ترسمها فرشتا الدهان على الأرض المتجهات التي ترسمها على المخطط التوضيحي للحركة لتمثيل السرعة المتجهة.
استخدام المعادلات
عندما ترسم خطاً بيانياً مستقيماً، تستطيع التعبير عنه بمعادلة. ومن الأفضل أحياناً استخدام مثل هذه المعادلة بدلاً من الرسم البياني لحل المسائل. تفحص مرة أخرى الرسم البياني في الشكل 2-21 الذي يمثل جسماً يتحرك في عكس اتجاه موجب بسرعة -5.0 m/s. ولعلك درست سابقاً أن أي خط مستقيم يمكن تمثيله بالصيغة الرياضية:
y = mx + b
حيث y هي الكمية التي تتبعها على المحور الرأسي، و m هي ميل الخط المستقيم، و x هي الكمية التي تتبعها على المحور الأفقي، و b هي نقطة تقاطع الخط المستقيم مع المحور الرأسي.
في الرسم البياني الموضح في الشكل 2-21 تكون الكمية المعينة على المحور الرأسي هي الموقع، وتمثل بالمتغير d، والكمية المعينة على المحور الأفقي هي الزمن، وتمثل بالمتغير t.
أما ميل الخط المستقيم -5.0 m/s فيمثل السرعة المتجهة المتوسطة للجسم v، ونقطة تقاطع الخط البياني مع المحور الرأسي هي 20.0 m، وترى من ذلك أن الجسم كان في موقع يبعد 20.0 m من نقطة الأصل عندما t = 0.0، ويعرف هذا الموقع الابتدائي للجسم، ويرمز له بالرمز di.
ويبين الجدول 2-2 مقارنة بين المتغيرات العامة لمعادلة الخط المستقيم والمتغيرات الخاصة بالحركة، كما يبين القيم المحددة لكل من الثابتين في هذه المعادلة. وبإحلالها في المعادلة العامة في الجدول، فإن المعادلة y = mx + b تصبح:
d = vt + di
وتعويض قيم الثوابت تصبح:
d = (-5.0 m/s)t + 20.0 m
تصف هذه المعادلة الحركة المنتظمة الممثلة بالشكل 2-21. ويمكنك أن تختبر هذه المعادلة بإعطاء قيمة لـ t في المعادلة وحساب d. ويجب أن تحصل على القيمة نفسها لـ d عندما تعوض القيمة السابقة لـ t في الرسم البياني.
ولإجراء اختبار إضافي للتأكد من أن المعادلة ذات معنى، تحقق من وحدة كل حد في طرفي المعادلة؛ فبينما يمثل الجانب الأيسر في المعادلة الموقع، ووحدته m، يكون الجزء الأول من المعادلة في الجانب الأيمن هو حاصل ضرب m/s × s، ووحدته meters، ووحدة الجزء الثاني من المعادلة في الطرف الأيمن هي m، ويجب أن تكون الوحدات في طرفي المعادلة متطابقة.
الجدول 2-2
مقارنة الخطوط المستقيمة مع منحنيات الموقع - الزمن
| المتغير العام | التعبير المعين للحركة | القيمة للشكل 2-21 |
| ------------- | --------------------- | ----------------- |
| y | d | |
| m | v | -5.0 m/s |
| x | t | |
| b | di | 20.0 m |
معادلة الحركة المنتظمة بدلالة السرعة المتجهة المتوسطة
d = vt + di
موقع الجسم المتحرك بسرعة منتظمة يساوي حاصل ضرب السرعة المتجهة المتوسطة في الزمن مضافاً إليه قيمة الموقع الابتدائي للجسم.
تستطيع الآن تمثيل الحركة باستخدام الكلمات والمخططات التوضيحية للحركة والصور وجداول البيانات ومنحنيات الموقع - الزمن، وكذلك باستخدام معادلة الحركة المنتظمة.
2-4 مراجعة
استخدم الشكل 2-24 في حل المسائل 29-31.
- السرعة المتوسطة
رتب منحنيات الموقع - الزمن وفق السرعة المتوسطة للجسم، من الأكبر إلى الأصغر، وأشر إلى الروابط إن وجدت.
- السرعة المتجهة المتوسطة
رتب المنحنيات وفق السرعة المتجهة المتوسطة من السرعة الأكبر إلى السرعة الأولى.
- الموقع الابتدائي
رتب الخطوط البيانية بحسب الموقع الابتدائي للجسم، وابدأ أكبر قيمة موجبة وانته بأكبر قيمة سالبة. هل سيكون ترتيبك مختلفاً إذا طلب إليك ترتيبها بحسب المسافة الابتدائية للجسم من نقطة الأصل؟
- السرعة المتوسطة والسرعة المتجهة المتوسطة
فسّر العلاقة بين السرعة المتوسطة والسرعة المتجهة المتوسطة.
- التفكير الناقد
ما أهمية عمل نماذج مصورة ونماذج فيزيائية للحركة قبل بدء حل معادلة ما؟
جاري تحضير الدرس المعاد صياغته وبناء الأنماط
نحافظ على المعنى العلمي ونربط كل فقرة بنواتجها ومفاهيمها.
إعادة إنتاج الدرس حسب نمط التعلم
طلب واحد ينتج المسارات البصري والسمعي والحركي والقرائي معًا، بصياغة تراعي سياق المناهج السعودية.
اختر نمط التعلم
تُنتج الأنماط الأربعة دفعة واحدة، ثم تُستدعى الحزمة المحفوظة في الزيارات التالية.