درس القوة والحركة في بُعدين بالترتيب

درس القوة والحركة في بُعدين بالترتيب

5-3 القوة والحركة في بُعدين

Force and Motion in Two Dimensions

الأهداف

• تحدد القوة التي تسبب الاتزان عندما تؤثر ثلاث قوى في جسم ما.
• تحلل حركة جسم على سطح مائل أملس أو خشن.

المفردات

• القوة الموازنة.

درست حالات عديدة تتضمن قوى في بُعدين، ومنها الحالة الآتية: عندما يحدث احتكاك بين سطحين لا بد أن تأخذ بعين الاعتبار كلاً من قوة الاحتكاك الموازية للسطح والقوة العمودية عليه. وفيما سبق درست الحركة في مستوى أفقي، وفيما يأتي تستخدم مهاراتك في جمع المتجهات لتحليل حالات وأمثلة تتضمن قوى غير متعامدة تؤثر في جسم ما.

الاتزان

Equilibrium

درست في الفصل الرابع أن الجسم يتزن عندما تكون محصلة القوى المؤثرة فيه صفراً. وطبقاً لقانون نيوتن الثاني لا يتسارع الجسم عندما لا توجد قوة محصلة تؤثر فيه، لذلك فإن اتزانه يعني أن ساكن أو متحرك بسرعة ثابتة في خط مستقيم. ولقد حللت سابقاً أوضاع اتزان عديدة تتضمن قوتين تؤثران في جسم ما. إلا أنه من المهم أن تدرك أن الاتزان قد يحدث حتى لو تعددت القوى التي تؤثر في الجسم. فإذا كانت القوة المحصلة تساوي صفراً كان الجسم متزناً.

يبين الشكل 5-11a ثلاث قوى تؤثر في جسم نقطي. ما مقدار القوة المحصلة المؤثرة في الجسم؟ وإذا أردت أن تركب قوة المحصلة، فما اتجاهها؟ في الشكل 5-11b يبين جمع المتجهات الثلاثة A و B و C. لاحظ أن المتجهات الثلاثة تشكل مثلثاً مغلقاً، لذا فإن القوة المحصلة تساوي صفراً، لذا يكون الجسم متزناً.

الشكل 5-11

يتزن جسم عندما يكون مجموع القوى المؤثرة فيه صفراً.

لنفترض أن قوتين تؤثران في جسم ما، وأن محصلتهما لا تساوي صفراً، فكيف يمكن إيجاد قوة ثالثة، بحيث إذا أضيفت هذه القوة مع القوتين السابقتين تصبح المحصلة صفراً، ويكون عندها الجسم متزناً؟

لكي تجد هذه القوة اعلم أن مقدارها واتجاهها هما نفس مقدار واتجاه محصلة القوتين اللتين تؤثران في الجسم، وتسمى القوة التي لها نفس تأثير القوتين مجتمعتين القوة المحصلة. والقوة الثالثة المطلوبة تساوي القوة المحصلة في المقدار، ولكنها تعاكسها في الاتجاه. وتسمى القوة التي تجعل الجسم متزناً القوة الموازنة. ويوضح الشكل 5-12 خطوات إيجاد القوة الموازنة، وهي خطوات عامة تستعمل أياً كان عدد المتجهات.

الشكل 5-12

القوة الموازنة لها مقدار القوة المحصلة نفسها، ولكنها تعاكسها في الاتجاه.

مسألة تحفيز

أوجد القوة الموازنة للقوى الآتية:

• F1 = 61.0 N في اتجاه يصنع زاوية 17.0° شمال الشرق.
• F2 = 38.0 N في اتجاه يصنع زاوية 64.0° شمال الشرق.
• F3 = 54.0 N في اتجاه يصنع زاوية 8.0° غرب الشمال.
• F4 = 93.0 N في اتجاه يصنع زاوية 53.0° غرب الشمال.
• F5 = 65.0 N في اتجاه يصنع زاوية 21.0° جنوب الغرب.
• F6 = 102.0 N في اتجاه يصنع زاوية 15.0° غرب الجنوب.
• F7 = 26.0 N في اتجاه الجنوب.
• F8 = 77.0 N في اتجاه يصنع زاوية 22.0° شرق الجنوب.
• F9 = 51.0 N في اتجاه يصنع زاوية 33.0° شرق الجنوب.
• F10 = 82.0 N في اتجاه يصنع زاوية 5.0° جنوب الشرق.

الحركة على مستوى مائل

Motion Along an Inclined Plane

سبق أن طبقت قوانين نيوتن على حالات اتزان متنوعة، إلا أن حركة الجسم فيها اقتصرت على الاتجاه الأفقي أو الرأسي. كيف يمكنك تطبيق هذه القوانين على حالة مماثلة في الشكل 5-13a التي ينزلق فيها متزلج على مستوى مائل؟

ابدأ برسم شكل توضيحي عام يوضح حركة الجسم المتزلج، ويبين اتجاه سرعته واتجاه القوة المحصلة المؤثرة فيه كما في الشكل 5-13b، ثم ارسم مخطط الجسم الحر، حيث تؤثر قوة الجاذبية الأرضية في المتزلج إلى أسفل في اتجاه مركز الأرض، وتؤثر القوة العمودية في اتجاه عمودي على السطح في اتجاه المحور +y، إضافة إلى قوى الاحتكاك الموازية للسطح التي تؤثر في عكس اتجاه حركة التزلج كما في الشكل 5-13c.

لكل تلك القوى فإنه من المفيد اختيار نظام إحداثي مناسب. توضح بعض الحالات السابقة أن تسارع الجسم يكون في اتجاه المستوى المائل، أي في اتجاه المحور x. كيف يمكن إيجاد القوة المحصلة التي تجعل المتزلج يتسارع؟

الشكل 5-13

ينزلق متزلج على مستوى مائل.
a. ارسم نموذج الجسم النقطي ومتجه السرعة والتسارع والقوة المحصلة.
b. ارسم مخطط الجسم الحر.
c. ثم اختر نظام إحداثيات صحيحاً لتحليل مثل هذه الحالات على نحو مناسب.

مثال 5

مركبتا الوزن لجسم على سطح مائل

يستقر صندوق وزنه 562 N على سطح مائل يصنع زاوية 30.0° فوق الأفقي. أوجد مركبتي قوة الوزن الموازية للسطح والعمودية عليه.

1 تحليل المسألة ورسمها

• ارسم نظاماً إحداثياً يشير فيه المحور x الموجب إلى أعلى السطح المائل.
• ارسم مخطط الجسم الحر ومركبتي Fg وهما Fgx و Fgy والزاوية θ.

المعلوم:

Fg = 562 N
θ = 30.0°

المجهول:

Fgx = ?
Fgy = ?

2 إيجاد الكمية المجهولة

لأن Fgx و Fgy تشيران إلى اتجاهين يعاكسان المحورين الموجبين:

Fgx = -Fg sin θ
= - (562 N) (sin 30.0°)
= -281 N

Fgy = -Fg cos θ
= - (562 N) (cos 30.0°)
= -487 N

3 تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ تقاس القوة بوحدة نيوتن.
• هل للإشارات معنى؟ تشير المركبتان إلى اتجاهين يعاكسان المحورين الموجبين.
• هل الجواب منطقي؟ قيمة كل من المركبتين أقل من قوة الوزن Fg.

مثال 6

التزلج على منحدر

يقف شخص كتلته 62 kg على زلاجة، ويتزحلق إلى أسفل منحدر تلجي يميل على الأفقي بزاوية 37°. فإذا كان معامل الاحتكاك الحركي بين الزلاجة والثلج 0.15، فما سرعة الشخص بعد مرور 5.0 s من بدء الحركة، علماً بأنه انزلق من السكون؟

1 تحليل المسألة ورسمها

• كوّن نظاماً إحداثياً.
• ارسم نموذج الجسم النقطي ممثلاً كلاً من v و a.
• ارسم مخطط الجسم الحر مبيناً Fg و FN و fk.
• حلل متجهات القوة والتسارع على المحورين، كما في الشكل 5-13.

المعلوم:

m = 62 kg
θ = 37°
vi = 0.0 m/s
μk = 0.15
t = 5.0 s

المجهول:

a = ?
vf = ?

2 إيجاد الكمية المجهولة

في اتجاه المحور y:

F المحصلة y = may = 0.0 N

لا يوجد تسارع في اتجاه المحور y، لذا ay = 0.0 m/s².

حل لإيجاد القوة العمودية:

F المحصلة y = FN - Fgy

FN = Fgy

FN = mg cos θ

في اتجاه المحور x:

حل لإيجاد التسارع a:

F المحصلة x = max

max = mg sin θ - μk FN

a = g sin θ - μk g cos θ

a = g (sin θ - μk cos θ)

a = (9.80 m/s²) (sin 37° - (0.15) cos 37°)

a = 4.7 m/s²

بما أن vi و a و t قيم معلومة، لذا يمكن استعمال المعادلة الآتية:

vf = vi + at

vf = 0.0 + (4.7 m/s²)(5.0 s)

vf = 24 m/s

3 تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ يبين تحليل الوحدات أن وحدة vf هي m/s، ووحدة a هي m/s².
• هل للإشارات معنى؟ إن كلاً من a و vf لهما في اتجاه المحور x الموجب، لذا فإن الإشارات صحيحة.
• هل الجواب منطقي؟ السرعة كبيرة، ولكن الانحدار كبير 37°، إضافة إلى أن الاحتكاك بين الزلاجة والثلج قليل.

مسائل تدريبية

• يصعد شخص بسرعة ثابتة تلاً على الرأسي بزاوية 60°. ارسم مخطط الجسم الحر لهذا الشخص.

• حرك أحمد وسمير طاولة عليها كأس كتلتها 0.44 kg بعيداً عن أشعة الشمس. رفع أحمد طرف الطاولة من جهته قبل أن يرفع سمير الطرف المقابل، فمالت الطاولة على الأفقي بزاوية 15°. أوجد مركبتي وزن الكأس الموازية لسطح الطاولة والعمودية عليه.

• يجلس شخص كتلته 50.0 kg على كرسي في عيادة طبيب الأسنان. فإذا كانت مركبة وزنه العمودية على مستوى مقعد الكرسي 449 N، فما الزاوية التي يميل بها الكرسي بالنسبة إلى المحور الأفقي؟

• يتزحلق الطفل في حديقة الألعاب على سطح مائل يصنع زاوية 35° مع الأفقي. فإذا كانت كتلته 43 kg، فما مقدار القوة العمودية بين سامي والسطح المائل؟

• إذا وضعت حقيبة سفر على سطح مائل، فما مقدار الزاوية التي يجب أن يميل بها هذا السطح بالنسبة إلى المحور الرأسي، حتى تكون مركبة وزن الحقيبة الموازية للسطح تساوي نصف مقدار مركبتها العمودية عليه؟

• في المثال 6، إذا انزلق الشخص نفسه إلى أسفل منحدر ثلجي زاوية ميله 31°، فما مقدار تسارعه؟

• ينزلق شخص كتلته 45 kg إلى أسفل سطح مائل على الأفقي بزاوية 45°. فإذا كان معامل الاحتكاك الحركي بين الشخص والسطح 0.25، فما مقدار تسارعه؟

• في المثال 6، إذا ازداد الاحتكاك بين الشخص والثلج إلى أن أصبحت قوة الاحتكاك 0.5 من وزنه بعد مرور 5.0 s من بدء حركته، فما مقدار معامل الاحتكاك الحركي الجديد؟

تجربة

آخر الزاوية

ارفع لوحاً خشبياً من أحد طرفيه وثبته بدعامة بحيث يشكل سطحاً مائلاً بزاوية 45°، ثم علق جسماً كتلته 500 g بميزان نابضي.

• قس وزن الجسم وسجله. ثم ضع الجسم أسفل السطح، واسحبه ببطء وبسرعة ثابتة إلى أعلى السطح.

• راقب وسجل قراءة الميزان.

التحليل والاستنتاج

• احسب مركبة وزن الجسم الموازية للسطح المائل.

• قارن قراءة الميزان في أثناء سحب الجسم بسرعة ثابتة مع مركبة الوزن الموازية للسطح.

تجربة عملية

كيف يتحرك الجسم المتزن على سطح مائل؟

ارجع إلى دليل التجارب منصة عين الإثرائية.

أهم خطوة في تحليل المسائل التي تتضمن حركة جسم على سطح مائل هي اختيار نظام إحداثي مناسب. ولأن تسارع الجسم يكون موازياً للسطح المائل فإن أحد المحاور يجب أن يكون في هذا الاتجاه، وعادة ما يكون المحور x موازياً للسطح. أما محور y فيكون عمودياً على المحور x وعلى السطح المائل. في هذا النظام الإحداثي يكون هناك قوتان في اتجاه المحور y، هما قوة الاحتكاك والقوة العمودية، ولا تكون قوة الوزن في اتجاه أي من هذه المحاور. وهذا يعني أنه عند وضع جسم على سطح مائل فإن مقدار القوة العمودية بين الجسم والسطح المائل لا تساوي وزن الجسم.

لاحظ أنك تحتاج إلى تطبيق قانون نيوتن الثاني في اتجاه المحور x مرة، وفي اتجاه المحور y مرة أخرى، ولأن الوزن لا يشير إلى اتجاه أي من المحورين فإننا نقوم بتحليله إلى مركبتين؛ إحداهما في اتجاه المحور x، والأخرى في اتجاه المحور y، وذلك قبل جمع القوى في هذين الاتجاهين. وهذه الخطوات موضحة في المثالين السابقين.

5-3 مراجعة

• القوى

من طرائق تخليص سيارتك من الوحل أن تربط طرف حبل غليظ بالسيارة، وطرفه الآخر بشجرة، ثم تسحب الحبل من نقطة المنتصف بزاوية 90° بالنسبة إلى الحبل. ارسم مخطط الجسم الحر، ثم وضح لماذا تكون القوة المؤثرة في السيارة كبيرة حتى عندما تكون القوة التي تسحب بها الحبل صغيرة؟

• المعلقة

تعلَّق لوحة النتائج الإلكترونية في سقف صالة ألعاب بواسطة أسلاك طولها 10 m، واحد منها يصنع زاوية 8.0° مع الرأسي، في حين تصنع الأسلاك الأربعة الأخرى زاوية 10.0° مع الرأسي. إذا كان الشد في كل سلك 1300 N، فما كتلة لوحة النتائج؟

• التسارع

يسحب صندوق كتلته 63 kg بحبل على سطح مائل يصنع زاوية 14.0° مع الأفقي. إذا كان الحبل يوازي السطح، والشد فيه 512 N، ومعامل الاحتكاك الحركي 0.27، فما مقدار تسارع الصندوق؟ وما اتجاهه؟

• الاتزان

تعلق لوحة فنية بسلكين طويلين. وإذا كانت القوة المؤثرة في السلكين كبيرة فسوف ينقطعان. في أي الشكلين في الشكل 5-15 تكون القوة أقل؟ وفي أي الشكلين تكون أكبر؟ فسر ذلك.

الشكل 5-15

لوحة معلقة بسلكين طويلين.

• التفكير الناقد

هل يمكن أن يكون لمعامل الاحتكاك قيمة، بحيث يتمكن متزلج من الوصول إلى قمة تل منحدر بتسارع ثابت؟ وهل يكون هناك قوى أخرى تؤثر في المتزلج إلا وزنه؟