درس المتجهات بالترتيب

درس المتجهات بالترتيب

تجربة استهلالية

هل صحيح أن 2N + 2N = 2N؟

سؤال التجربة

هل يمكن لمجموع محصلة قوتين متساويتين تؤثران في جسم أن يساوي إحدى هاتين القوتين؟

الخطوات

• قس احصل من معلمك على جسم كتلته 200 g، وقس وزنه باستعمال ميزان نابضي زنبركي.

• اربط طرف خيط طوله 70 cm بخطافي ميزانين نابضين.

• اربط طرف خيط طوله 15 cm بالجسم الذي كتلته 200 g، ولف طرفه الآخر على الخيط المثبت بخطافي الميزانين. تحذير: تجنب سقوط الكتل.

• أمسك الميزانين النابضين، أحدهما باليد اليمنى والآخر باليد اليسرى، على أن يشكل الخيط الواصل بينهما زاوية مقدارها 120°. وللتأكد من أن مقدار الزاوية 120° حرك الخيط الذي يعلق به الجسم حتى تكون قراءة الميزانين متساويتين، وسجل قراءة كل منهما.

• اجمع البيانات ونظمها اسحب ببطء الخيط الذي يعلق به الجسم الذي كتلته 200 g أكثر فأكثر في اتجاه أفقي، وصف مشاهداتك.

التحليل

هل مجموع القوتين المقيسَتين بالميزانين النابضين يساوي وزن الجسم المعلق، أم أكبر، أم أقل؟

التفكير الناقد

استعمل ورقة رسم بياني لرسم مثلث متساوي الأضلاع، على أن يكون أحد أضلاعه رأسياً. إذا كان ضلعا المثلث يمثل كل منهما قوة شد مقدارها 2 N، فما مقدار قوة الشد التي يمثلها الضلع الثالث؟ وكيف يمكن أن يكون:

2N + 2N = 2N

صحيحاً؟

---

5-1 المتجهات

Vectors

الأهداف

• تحسب مجموع متجهين أو أكثر في بعدين بطريقة الرسم.
• تحدد مركبتي كل متجه.
• تحسب مجموع متجهين أو أكثر جبرياً، وذلك بجمع مركبات المتجهات.

المفردات

• قانون جيب التمام في المتجهات.
• قانون الجيب في المتجهات.
• المركبات.
• تحليل المتجه.
• زاوية المتجه المحصل.

كيف يمكن لمتسلقي الصخور تجنب السقوط في حالات كالحالة المبينة في الصفحة السابقة؟ لاحظ أن للمتسلق أكثر من نقطة داعمة يرتكز عليها، كما تؤثر فيه قوى متعددة. يمسك المتسلق بإحكام بالصدوع أو الشقوق الموجودة في الصخرة، كما يثبت قدميه على أي نتوء أو بروز يجده في الصخرة. وهكذا يكون هناك قوى تلامس تؤثر في جسمه، كما تؤثر الجاذبية الأرضية فيه بقوة إلى أسفل. لذلك توجد ثلاث قوى تؤثر في المتسلق.

وما يميز هذه الحالة من الحالات التي درستها سابقاً أن القوى التي يؤثر بها سطح الصخرة في المتسلق ليست قوى أفقية ولا عمودية. ولعلك تعلم من الفصول السابقة أنه يمكنك اختيار نظام إحداثي وتوجيهه بالطريقة المناسبة لتحليل حالة ما. ولكن ماذا يحدث عندما لا تكون القوى متعامدة؟ وكيف يمكن وضع نظام إحداثي وإيجاد قوة محصلة عندما تتعامل مع أكثر من بعد؟

---

مراجعة مفهوم المتجهات

Vectors Revisited

تذكر المثال الذي درسته على متجهات القوة في الفصل الرابع، حيث دفعت أنت وصديقك الطاولة، وافترض أن كلاً منكما أثر بقوة 40 N في اتجاه اليمين. يمثل الشكل 5-1 مخطط الجسم الحر للمتجهين بالإضافة إلى المتجه الذي يمثل القوة المحصلة. إن متجه القوة المحصلة يساوي 80 N، وهو الذي تتوقعه غالباً. لكن كيف حصلنا على متجه القوة المحصلة؟

الشكل 5-1

مجموع القوتين يوضح اتجاههما.

---

المتجهات في أبعاد متعددة

Vectors in Multiple Dimensions

يمكن تطبيق عملية جمع المتجهات حتى لو لم تكن في الاتجاه نفسه. ولحل مثل هذه المسائل في بعدين بطريقة الرسم تحتاج إلى منقلة ومسطرة، على أن تختار مقياس رسم مناسباً للرسم. ارسم رأساً على الذيل المتجه الأول، ثم انقل المتجه الآخر، واجعل ذيله عند رأس المتجه الأول. يسمى هذا جمع المتجهات بوضع كل متجه على رأس متجه آخر، ثم ارسم المتجه المحصل بوصل ذيل المتجه الأول مع رأس المتجه الثاني، كما في الشكل 5-2.

حيث يبين الشكل 5-2a مخطط الجسم الحر للقوتين A و B، وفي الشكل 5-2b تحرك أحد المتجهين فأصبح ذيله عند رأس المتجه الآخر. لاحظ أن طول المتجه المنقول واتجاهه لم يتغيرا؛ حيث إن طول المجمع واتجاهه ما نقله معاً مهم. لذلك إذا أردت أن تنقل متجهاً، فاحرص أن يبقى طوله واتجاهه دائماً كما هما.

فعند تحريك متجه دون تغيير طوله واتجاهه لا يتغير المتجه. ويمكنك الآن رسم المتجه المحصل الذي يتجه من ذيل المتجه الأول B إلى رأس المتجه الآخر A، كما في الشكل 5-2c. ثم قس طوله للحصول على مقداره، واستعمل منقلة لقياس اتجاه المتجه المحصل.

الشكل 5-2

جمع المتجهات يوضح رأس متجه على ذيل متجه آخر، ورسم المتجه المحصل بتوصيل ذيل المتجه الأول برأس المتجه الأخير.

قد تحتاج أحياناً إلى استعمال علم المثلثات لتحديد طول المتجه المحصل واتجاهه. تذكر أنه يمكن إيجاد طول الوتر للمثلث القائم الزاوية باستعمال نظرية فيثاغورس. فإذا أردت جمع متجهين الزاوية بينهما قائمة، مثل المتجه A الذي يشير إلى الشمال والمتجه B الذي يشير إلى الشرق، يمكنك استعمال نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار المحصلة R:

نظرية فيثاغورس

R² = A² + B²

إذا كانت الزاوية بين متجهين A و B قائمة فإن مجموع مربعي مقداري المتجهين يساوي مربع مقدار المتجه المحصل.

إذا لم تكن الزاوية بين المتجهين المراد جمعهما تساوي 90°، فيمكنك استعمال قانون جيب التمام أو قانون الجيب.

قانون جيب التمام

R² = A² + B² - 2AB cos θ

مربع مقدار المتجه المحصل يساوي مجموع مربعي مقداري المتجهين مطروحاً منه ضعف حاصل ضرب مقداري المتجهين مضروباً في جيب تمام الزاوية التي بينهما.

قانون الجيب

R / sin θ = A / sin a = B / sin b

مقدار المحصلة مقسوماً على جيب الزاوية التي بين المتجهين يساوي مقدار أحد المتجهين مقسوماً على جيب الزاوية التي تقابله.

للمزيد من المعلومات حول قانون الجيب ارجع إلى دليل الرياضيات صفحة 203، وانظر الشكل الموضح في المثال الآتي.

---

مثال 1

إيجاد مقدار محصلة متجهين

إزاحتان: الأولى 25 km والثانية 15 km. احسب مقدار محصلتهما عندما تكون الزاوية بينهما 90°، وعندما تكون الزاوية 135°.

1 تحليل المسألة ورسمها

• ارسم متجهي الإزاحة A و B وارسم الزاوية بينهما.

المعلوم:

A = 25 km
B = 15 km
θ₁ = 90°
θ₂ = 135°

المجهول:

R = ?

2 إيجاد الكمية المجهولة

استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد مقدار المتجه المحصل عندما تكون الزاوية بين المتجهين 90°:

R² = A² + B²

R = √(A² + B²)

R = √((25 km)² + (15 km)²)

R = 29 km

لأن الزاوية بين المتجهين 135°، نستخدم قانون جيب التمام لإيجاد مقدار المتجه المحصل:

R² = A² + B² - 2AB cos θ₂

R = √(A² + B² - 2AB cos θ₂)

R = √((25 km)² + (15 km)² - 2(25 km)(15 km)(cos 135°))

R = 37 km

3 تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ كل جواب عبارة عن طول يقاس بالكيلومترات.
• هل للإشارات معنى؟ المحصل أو الجمع في كلتا الحالتين موجب.
• هل الجواب منطقي؟ المقدار في كل حالة قريب من مقدار المتجهين المجموعين، ولكنه أطول؛ وذلك لأن كل محصلة عبارة عن ضلع يقابل زاوية منفرجة، والإجابة الثانية أكبر من الأولى، وهذا يتفق مع تمثيل المتجهات بالرسم.

---

مسائل تدريبية

• قطعت سيارة 125.0 km في اتجاه الغرب، ثم 65.0 km في اتجاه الجنوب. فكم مقدار إزاحتها؟ حل المسألة بطريقة الرسم وبطريقة حسابية مثلثة.

• سار شخص مسافة 4.5 km شمالاً، ثم انعطف بزاوية 45° في اتجاه اليمين، وسار مسافة 6.4 km. ما مقدار إزاحته؟

---

مركبات المتجهات

Components of Vectors

إن اختيار نظام إحداثي، كما في الشكل 5-3a، يشبه وضع شريحة بلاستيكية شفافة فوق رسم المتجهات في المسألة. وعليك اختيار الموضع الذي يحدد مركز الشبكة، أي نقطة الأصل، وتثبيت الاتجاهات التي تشير إليها المحاور؛ حيث يمثل محور x سهماً يمر بنقطة الأصل ويشير إلى الاتجاه الموجب كما في الشكل 5-3a. ويرسم محور y بحيث يكون عمودياً على محور x، ويصنع معه زاوية مقدارها 90°، في اتجاه حركة عقارب الساعة من محور x، ويتقاطع مع محور x في نقطة الأصل.

كيف تختار اتجاه محور x؟ ليس هناك إجابة واحدة صحيحة، ولكن بعض الخيارات تجعل حل المسألة أسهل من بعضها الآخر. فعندما تكون الحركة الموصوفة محصورة في سطح الأرض، يكون من الأسهل اختيار محور x ليشير إلى اتجاه الشرق، والمحور y ليشير إلى اتجاه الشمال. وعندما تتحلل حركة على سطح مائل، فمن المهم اختيار المحور x ليكون أفقياً أو موازياً لاتجاه الحركة، والمحور y عمودياً عليه، كما لو أنه كان من المناسب اختيار المحور الموجب في اتجاه الحركة، والمحور y عمودياً على المحور x.

مركبتا المتجه

يمكنك وصف أي متجه بطريقة مختلفة عما سبق باستخدام النظام الإحداثي. فعلى سبيل المثال يمكن وصف المتجه A في الشكل 5-3b على أنه يمثل انتقالاً بمقدار 5 وحدات على محور x والانتقال بمقدار 4 وحدات على محور y. كما يمكنك تمثيل هذه المعلومات في صورة متجهين Ax و Ay على المخطط. لاحظ أن Ax يوازي محور x، وأن Ay يوازي محور y. ولاحظ كذلك أنه إذا جمع Ax و Ay فإن المحصلة تساوي المتجه الأصلي A. وهكذا يمكن تجزئة المتجه إلى مركبتين، وهما متجهان أحدهما يوازي المحور x والآخر يوازي المحور y، وهذا يجب عمله دائماً، كما في معادلة المتجهات الآتية:

A = Ax + Ay

تسمى عملية تجزئة المتجه إلى مركبتيه تحليل المتجه. لاحظ أن المتجه الأصلي يمثل الوتر في مثلث قائم الزاوية، مما يعني أن مقدار المتجه الأصلي دائماً أكبر من مقدار أي مركبة من مركبتيه.

الشكل 5-3

يتكون النظام الإحداثي من نقطة الأصل ومحورين متعامدين.
a. يقاس اتجاه المتجه A عكس اتجاه حركة عقارب الساعة من محور x الموجب.
b. يمكن وصف المتجه A بمركبتيه على المحورين.

وهناك سبب آخر لاختيار النظام الإحداثي، وهو أن اتجاه أي متجه يحدد بالنسبة إلى هذه الإحداثيات. ويعرف اتجاه المتجه على أنه الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x مقيسة في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة. في الشكل 5-3b تمثل الزاوية θ اتجاه المتجه A.

ويمكن قياس أطوال مركبات المتجهات بطريقة الرسم، كما يمكن أيضاً إيجاد المركبات باستعمال علم المثلثات. فتحسب المركبات باستعمال المعادلتين الآتيتين، وتكون الزاوية θ مقيسة في عكس حركة عقارب الساعة من محور x الموجب.

cos θ = الضلع المجاور / الوتر = Ax / A
إذن:
Ax = A cos θ

sin θ = الضلع المقابل / الوتر = Ay / A
إذن:
Ay = A sin θ

عندما تكون الزاوية التي يصنعها المتجه مع محور x الموجب أكبر من 90° فإن إشارة إحدى المركبتين أو كلتيهما تكون سالبة، كما في الشكل 5-4.

الشكل 5-4

تعتمد إشارة مركبة المتجه على الربع الذي تقع فيه.

---

جمع المتجهات جبرياً

Algebraic Addition of Vectors

لماذا تُحلل المتجهات إلى مركباتها؟ لأن ذلك يسهل عملية جمع المتجهات حسابياً. فيمكن جمع متجهين أو أكثر مثل A و B و C، وذلك بتحليل كل متجه إلى مركبة x ومركبة y. أولاً تجمع المركبات الأفقية، مركبات المحور x، للمتجهات لتكون المركبة الأفقية للمحصلة:

Rx = Ax + Bx + Cx

وبالمثل تجمع المركبات الرأسية، مركبات المحور y، للمتجهات لتكون المركبة الرأسية للمحصلة:

Ry = Ay + By + Cy

وهذه العملية موضحة بيانياً في الشكل 5-5. ولأن Rx و Ry متعامدان، لذا يمكن حساب مقدار المتجه المحصل باستعمال نظرية فيثاغورس:

R² = Rx² + Ry²

الشكل 5-5

كل من مجموع المركبات الأفقية للمتجهات A و B و C هي Rx، والمركبات الرأسية هي Ry. الجمع الرياضي للمتجهات هو الجمع الاتجاهي لـ Rx و Ry.

a. تحليل كل متجه إلى مركبتيه.
b. إيجاد المحصلة.

ولإيجاد الزاوية أو اتجاه المحصلة، تذكر أن ظل الزاوية التي يصنعها المتجه المحصل مع محور x يعبر عنه بالعلاقة الآتية:

زاوية المتجه المحصل

θ = tan⁻¹ (Ry / Rx)

زاوية المتجه المحصل تساوي الظل العكسي لخارج قسمة المركبة y على المركبة x للمتجه المحصل.

كما يمكنك إيجاد الزاوية باستعمال الزر tan⁻¹ الموجود على الآلة الحاسبة. ولاحظ أنه عندما تكون الزاوية بين 0° و 90° فإن tan⁻¹ تعطي الزاوية بين 0° و 90°، وعندما تكون θ < 0 فإن الزاوية تكون بين 0° و -90°.

---

الرياضيات في الفيزياء

sin θ = الضلع المقابل / الوتر = Ry / R
cos θ = الضلع المجاور / الوتر = Rx / R
tan θ = الضلع المقابل / الضلع المجاور = Ry / Rx

---

تجربة عملية

كيف يتحرك الجسم عندما تؤثر فيه قوتان؟

ارجع إلى دليل التجارب منصة عين الإثرائية.

---

استراتيجيات حل المسألة

جمع المتجهات

استعمل الخطوات الآتية في المسائل التي تحتاج فيها إلى جمع المتجهات أو طرحها:

• اختر نظاماً إحداثياً.
• حلل المتجهات إلى مركباتها الأفقية باستعمال المعادلة:

Ax = A cos θ
وإلى مركباتها العمودية باستعمال المعادلة:
Ay = A sin θ
وتقاس الزاوية θ في عكس اتجاه حركة عقارب الساعة من محور x الموجب.

• اجمع المركبات التي على المحور x أو اطرحها للحصول على Rx.
• اجمع المركبات التي على المحور y أو اطرحها للحصول على Ry.
• طبق نظرية فيثاغورس:

R = √(Rx² + Ry²)
لإيجاد مقدار المتجه المحصل.

• طبق العلاقة:

θ = tan⁻¹ (Ry / Rx)
لإيجاد زاوية المتجه المحصل.

إن إتقانك عملية تحليل المتجهات إلى مركباتها، واكتساب المزيد من الخبرة خلال ما تبقى من هذا الفصل والفصل الذي يليه، سوف يسهلان عليك تحليل أنظمة معقدة من المتجهات دون استخدام طريقة الرسم.

---

مثال 2

الطريق إلى المنزل

يشير مستقبل جهاز تحديد المواقع العالمي إلى أن منزلك يبعد 15.0 km في اتجاه يصنع زاوية مقدارها 40.0° شمال الغرب، ولكن الطريق الذي أمامك لا يسير في هذا الاتجاه. فإذا علمت أنك قد تحركت مسافة 5.0 km في اتجاه الشمال، فما المسافة التي يجب أن تقطعها بعد ذلك حتى تصل إلى منزلك؟ وفي أي اتجاه تسير؟

1 تحليل المسألة ورسمها

• ارسم متجه المحصلة R من موقعك الأصلي إلى منزلك.
• ارسم المتجه المعلوم A، ثم ارسم المتجه المجهول B.

المعلوم:

A = 5.0 km في اتجاه الشمال
R = 15.0 km في اتجاه 40.0° شمال الغرب

المجهول:

B = ?

2 إيجاد الكمية المجهولة

أوجد مركبتي المتجه R:

Rx = R cos θ = (15.0 km) cos 140.0° = -11.5 km
Ry = R sin θ = (15.0 km) sin 140.0° = 9.64 km

بما أن A في اتجاه الشمال فإن:

Ay = 5.0 km
Ax = 0.0 km

استخدم مركبات كل من R و A لإيجاد مركبتي المتجه B:

Bx = Rx - Ax = -11.5 km - 0.0 km = -11.5 km
By = Ry - Ay = 9.64 km - 5.0 km = 4.6 km

الإشارة سالبة تعني أن هذه المركبة في اتجاه الغرب.

استخدم مركبتي المتجه B لإيجاد مقدار المتجه B:

B = √(Bx² + By²)

B = √((-11.5 km)² + (4.6 km)²)

B = 12 km

استخدم الظل لإيجاد زاوية المتجه B:

θ = tan⁻¹ (By / Bx)

θ = tan⁻¹ (4.6 km / -11.5 km)

θ = -22° أو 158°

ضع ذيل المتجه B عند نقطة الأصل لنظام إحداثي، وارسم المركبتين Bx و By، فيكون الاتجاه في الربع الثاني، وفي اتجاه يصنع زاوية مقدارها 22° شمال الغرب.

3 تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ الكيلومترات والدرجات صحيحة.
• هل للإشارات معنى؟ تتفق الإشارات مع المخطط.
• هل الجواب منطقي؟ إن طول المتجه B أكبر من Rx؛ لأن الزاوية بين A و B أكبر من 90°.

---

مسائل تدريبية

حل المسائل 3-8 جبرياً، ولكن حل بعضها أيضاً بطريقة الرسم للتحقق من الإجابة.

• يمشي أحد مسافة 0.40 km بزاوية 60° غرب الشمال، ثم يمشي 0.50 km غرباً. ما إزاحته؟

• يقضي الأخوان أحمد وعبدالله بعض الوقت في بيت مبني فوق شجرة. وقد استعملا بعض الحبال لرفع صندوق كتلته 3.20 kg يحوي أمتعتهما. فإذا وقعا عصين مختلفين كما في الشكل 5-6 وسحبا بالزاويتين والقوتين الموضحتين في الشكل، فاحسب كلاً من المركبتين x و y للقوة المحصلة. افترض أن المحور x أفقي. أرسم مخطط الجسم الحر مبيناً القوى.

• إذا بدأت الحركة من منزلك فقطعت 8.0 km شمالاً، ثم انعطفت شرقاً حتى أصبحت إزاحتك من المنزل 10.0 km، فما مقدار إزاحتك شرقاً؟

• أرجوحة طفل معلقة بحبلين يميلان عن الرأسي بزاوية 13.0°، وهما مربوطان إلى فرع شجرة. فإذا كان الشد في كل حبل 2.28 N، فما مقدار وأي اتجاه القوة المحصلة المؤثرة في الأرجوحة؟

• هل يمكن لمتجه أن يكون أقصر من إحدى مركبتيه أو مساوياً لطولها؟ وضح ذلك.

• في النظام الإحداثي الذي يشير فيه المحور x إلى الشرق، ما مدى الزوايا الذي تكون فيه المركبة x موجبة؟ وما مدى الزوايا الذي تكون فيه سالبة؟

---

5-1 مراجعة

• المسافة مقابل الإزاحة

هل تساوي المسافة التي تمشيها مقدار إزاحتك؟ أعط مثالاً يدعم استنتاجك.

• طرح متجه

في الشكل 5-7 اطرح المتجه K من المتجه L.

• مركبات

أوجد مركبتي المتجهين المبينين في الشكل 5-7.

• جمع المتجهات

أوجد محصلة المتجهات الثلاثة المبينة في الشكل 5-7.

• عمليات إبدالية

إن الترتيب في جمع المتجهات غير مهم. ويقول علماء الرياضيات إن عملية جمع المتجهات عملية إبدالية. فهل العمليات الحسابية المألوفة عملية إبدالية، وأيها غير إبدالية؟

• التفكير الناقد

أزيح صندوق، ثم أزيح إزاحة أخرى تختلف مقداراً عن مقدار الإزاحة الأولى. هل يمكن أن يكون للإزاحتين اتجاهان بحيث تجعلان الإزاحة المحصلة تساوي صفراً؟ افترض أن الصندوق حرك ثلاث إزاحات مقاديرها غير متساوية، فهل يمكن أن تساوي الإزاحة المحصلة صفراً؟ ادعم استنتاجك برسم تخطيطي.