الحركة الدائرية

الحركة الدائرية

6-2 الحركة الدائرية

Circular Motion

الأهداف

• تفسر لماذا يتسارع الجسم الذي يتحرك بسرعة ثابتة المقدار في مسار دائري.
• تصف كيف يعتمد مقدار التسارع المركزي على سرعة الجسم، ونصف قطر مساره الدائري.
• تحدد القوة التي تسبب التسارع المركزي.

المفردات

• الحركة الدائرية المنتظمة.
• التسارع المركزي.
• القوة المركزية.

عندما يتحرك جسم بسرعة ثابتة المقدار في مسار دائري، أو يدور حجر مثبت في نهاية خيط، هل يكون لهذه الأجسام تسارع؟ قد يتبادر إلى ذهنك في البداية أن هذه الأجسام لا تتسارع؛ لأن مقدار سرعتها لا يتغير، لكن تذكر أن التسارع هو التغير في السرعة المتجهة، مقداراً واتجاهاً، وليس في مقدار السرعة فقط. ولأن اتجاه حركة الحجر يتغير لحظياً فإن السرعة المتجهة للحجر تتغير، لذلك فهو يتسارع.

---

وصف الحركة الدائرية

Describing Circular Motion

الحركة الدائرية المنتظمة هي حركة جسم أو جسم بسرعة ثابتة المقدار حول دائرة نصف قطرها ثابت. ويحدد موقع الجسم في الحركة الدائرية المنتظمة بالنسبة إلى مركز الدائرة بمتجه الموقع r. كما في الشكل 6-5a، وعندما يدور الجسم حول الدائرة فإن طول متجه الموقع لا يتغير، لكن اتجاهه يتغير.

ولإيجاد سرعة الجسم يجب إيجاد متجه الإزاحة الذي يعرف بالتغير في الموقع:

Δr

ويبين الشكل 6-5b متجهي موقع:

r1 عند بداية فترة زمنية، و r2 عند نهايتها.

تذكر أن متجه الموقع هو متجه ذيله عند نقطة الأصل. ولاحظ أن مقدار متجهي الموقع r1 و r2 ثابت؛ لأن كلاهما يساوي نصف قطر الدائرة.

وكما تعلم فإن السرعة المتجهة المتوسطة تساوي:

v = Δd / Δt

أما في الحركة الدائرية فإن السرعة المتجهة المتوسطة تساوي:

v = Δr / Δt

ومتجه السرعة له اتجاه الإزاحة نفسه، لكن بطول مختلف. في الشكل 6-6a يمكنك ملاحظة أن متجه السرعة عمودي على متجه الموقع، أي مماس لمحيط الدائرة. وعندما يدور متجه السرعة حول الدائرة يبقى مقداره ثابتاً، ولكن اتجاهه يتغير.

كيف تحدد اتجاه تسارع الجسم المتحرك حركة دائرية منتظمة؟ يبين الشكل 6-6a متجهي السرعة:

v1 و v2

عند بداية الفترة الزمنية ونهايتها. ويمكن إيجاد الفرق بين متجهي السرعة المتجهة:

Δv

بطرح المتجهين v1 و v2 كما في الشكل 6-6b. يكون التسارع المتوسط:

a = Δv / Δt

لاحظ أن متجه التسارع في الحركة الدائرية المنتظمة يشير دائماً إلى مركز الدائرة؛ لذا يسمى هذا التسارع التسارع المركزي.

الشكل 6-5

الإزاحة Δr لجسم في حركة دائرية مقسومة على الزمن تساوي السرعة المتجهة المتوسطة خلال هذه الفترة الزمنية.

الشكل 6-6

يكون اتجاه التغير في السرعة متجهاً نحو مركز الدائرة؛ لذا فإن التسارع يشير نحو المركز أيضاً.

---

التسارع المركزي

Centripetal Acceleration

كيف يمكنك أن تحسب مقدار التسارع المركزي لجسم ما؟ قانون جيب التمام الناتج من متجهي الموقع في الشكل 6-5b كالناتج من متجهي السرعة في الشكل 6-6b. إن الزاوية بين r1 و r2 نفسها الزاوية بين v1 و v2، لذا يكون المثلثان متشابهين.

وهكذا فإن:

Δr / r = Δv / v

وبقسمة الطرفين على الزمن Δt ينتج:

Δr / rΔt = Δv / vΔt

لكن:

a = Δv / Δt

وكذلك:

v = Δr / Δt

وبإعادة ترتيب المعادلة السابقة والتعويض نجد أن:

v / r = a / v

حل هذه المعادلة لإيجاد a، وارمز لها بالرمز ac تعبيراً عن التسارع المركزي:

التسارع المركزي

ac = v² / r

يشير اتجاه التسارع المركزي إلى مركز الدائرة دائماً، ويساوي مقداره حاصل قسمة مربع السرعة على نصف قطر دائرة الحركة.

كيف يمكنك أن تحسب مقدار سرعة جسم يتحرك في مسار دائري؟ من الطرائق المستخدمة قياس الزمن اللازم لإكمال دورة كاملة T، ويسمى الزمن الدوري، حيث يقطع الجسم خلال هذا الزمن مسافة تساوي محيط الدائرة:

2πr

وبهذا يكون مقدار السرعة:

v = 2πr / T

لذا فإن مقدار التسارع المركزي يساوي:

ac = (2πr / T)² / r

أي:

ac = 4π²r / T²

ولأن تسارع الجسم الذي يتحرك في مسار دائري يكون دائماً في اتجاه المركز، فلا بد أن تكون القوة المحصلة في اتجاه مركز الدائرة أيضاً. ويمكن توضيح هذه القوة بأمثلة متعددة؛ فالقوة المسببة لدوران الأرض حول الشمس مثال على قوة جذب مركزية ناتجة عن قوة الجاذبية. وكذلك قوة الشد في الخيط مثال آخر، والقوة المسببة لدوران المطرقة في مسار دائري ناتجة عن قوة الشد في اتجاه المركز، كما في الشكل 6-7، وتسمى هذه القوة القوة المركزية.

كذلك فإن قانون نيوتن الثاني يمكن تطبيقه على الحركة الدائرية المنتظمة على النحو الآتي:

القانون الثاني لنيوتن في الحركة الدائرية

F المحصلة = m ac

القوة المحصلة المركزية المؤثرة في جسم يتحرك في مسار دائري تساوي حاصل ضرب كتلة الجسم في تسارعه المركزي.

تطبيق الفيزياء

المصاعد الفضائية

استعملت المصاعد الفضائية تقانياً قبل الكتابة للانتقال إلى الفضاء؛ حيث يتم ربط سلك بمحطة عند خط الاستواء الأرضي، ويمتد بطول 35,800 km من سطح الأرض، ويثبت في قمر صناعي، ويبقى مشدوداً بسبب القوة المركزية التي تزود مركز خاص بالطاقة المغناطيسية على هذا السلك.

الرؤية السعودية 2030

تعمل رؤية 2030 على تعزيز ورفع الطاقة الاقتصادية والابتكار وريادة الأعمال.

الشكل 6-7

عندما تطلق المطرقة من يد الرامي تسير في خط مستقيم يكون مماساً للمسار الدائري الذي كانت تتحرك فيه. كلما لا تستطيع أن تكمل مساراً دائرياً من دون قوة تسبب في جسم مقذوف بسرعة ابتدائية متجهة في الهواء.

---

عند حل مسائل على الحركة الدائرية المنتظمة من المفيد اختيار محورين: أحدهما في اتجاه التسارع، حيث يكون دائماً في اتجاه مركز الدائرة، ويسمى هذا المحور c، أي مركزياً. أما المحور الثاني فيكون في اتجاه السرعة المماسية للدائرة، ويسمى tang، أي مماسياً. وتطبق قوانين نيوتن على هذين المحورين، كما فعلت في مسائل الحركة ذات البعدين في الفصل الخامس.

تذكر أن القوة المركزية هي محصلة القوى في اتجاه مركز الدائرة، وليست قوة جديدة، فهي تمثل مجموع القوى الحقيقية التي تؤثر في اتجاه المركز.

بالرجوع إلى حالة المطرقة في الشكل 6-7، ما الاتجاه الذي تطير فيه المطرقة لحظة انطلاقها من السلسلة؟ عند اختفاء قوة الشد في السلسلة ليس هناك قوة تؤدي إلى تسارع المطرقة في اتجاه المركز، لذا تنطلق المطرقة في اتجاه سرعتها المماسية للدائرة عند نقطة إفلاتها. تذكر أنه إذا لم تستطع تحديد مصدر القوة، فإن هذه القوة غير موجودة.

---

تجربة عملية

ما الذي يبقي السدادة متحركة في مسار دائري؟

ارجع إلى دليل التجارب منصة عين الإثرائية.

---

مثال 2

الحركة الدائرية المنتظمة

أديرت سدادة مطاطية كتلتها 13 g، مثبتة عند طرف خيط طوله 0.93 m، في مسار دائري أفقي لتكمل دورة كاملة خلال 1.18 s. احسب مقدار قوة الشد التي يؤثر بها الخيط في السدادة.

1 تحليل المسألة ورسمها

• ارسم مخططاً لوضع السدادة.
• عين نصف القطر واتجاه الحركة.
• كوّن مجموعة المحاور: المركزي c، والمماسي tang.

المعلوم:

m = 13 g
r = 0.93 m
T = 1.18 s

المجهول:

FT = ?

2 إيجاد الكمية المجهولة

احسب التسارع المركزي:

ac = 4π²r / T²

بالتعويض:

T = 1.18 s
r = 0.93 m

ac = 4π²(0.93 m) / (1.18 s)²

ac = 26 m/s²

استخدم القانون الثاني لنيوتن لحساب قوة الشد في الخيط:

FT = m ac

بالتعويض:

ac = 26 m/s²
m = 0.013 kg

FT = (0.013 kg)(26 m/s²)

FT = 0.34 N

3 تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ يعطي تحليل الوحدات التسارع بـ m/s² والقوة بـ N.
• هل للإشارات معنى؟ يجب أن تكون الإشارات كلها موجبة.
• هل الجواب منطقي؟ نعم، قوة الشد تساوي ثلاثة أمثال وزن السدادة، وهذا منطقي لمثل هذه الأجسام الخفيفة.

---

مسائل تدريبية

• يسير متسابق بسرعة مقدارها 8.8 m/s في منعطف نصف قطره 25 m. ما مقدار التسارع المركزي للمتسابق؟ وما مصدر القوة المؤثرة فيه؟

• تسير سيارة سباق بسرعة مقدارها 22 m/s في منعطف نصف قطره 56 m. أوجد مقدار التسارع المركزي للسيارة. وما أقل قيمة لمعامل الاحتكاك السكوني بين العجلات والأرض لمنع السيارة من الانزلاق؟

• تتحرك طائرة بسرعة مقدارها 201 m/s عند دورانها في مسار دائري. ما أقل نصف قطر لهذا المسار بوحدة km يستطيع أن يشكله قائد الطائرة، على أن يبقي مقدار التسارع المركزي أقل من 5.0 m/s²؟

---

القوة الوهمية

A Nonexistence Force

عندما تنعطف سيارة فجأة في اتجاه اليسار فإن الراكب الجالس بجانب السائق سيفزغ في اتجاه الباب الأيمن. فهل هناك قوة خارجية أثرت في الراكب؟ افترض موقفاً آخر مشابهاً، لو أن السيارة التي تستقلها توقفت فجأة فإنك تندفع إلى الأمام نحو حزام الأمان. فهل أثرت فيك قوة إلى الأمام؟ لا؛ لأنه بحسب القانون الأول لنيوتن، فإنك سوف تستمر في الحركة بالسرعة نفسها ما لم تؤثر فيك قوة خارجية، وحزام الأمان هو الذي يؤثر فيك بقوة تدفعك إلى التوقف.

يبين الشكل 6-8 سيارة تنعطف نحو اليسار. إذا ترى من أعلى، سيندفع الراكب في السيارة إلى الأمام، ولا يترافق في الباب في أي منها في اتجاه مركز الدائرة، أي إنه لا توجد قوة تؤثر في الراكب إلى الخارج. أما ما نلاحظ من داخل السيارة، فإنه يتجه إلى الخارج، ومع أن هناك قوة وهمية ظاهرة تدفع الراكب إلى الخارج تسمى قوة الطرد المركزي، فإن هذه القوة لا وجود لها. إن قوانين نيوتن قادرة على تفسير الحركة في خطوط مستقيمة والحركة الدائرية.

الشكل 6-8

سيتحرك الراكب إلى الخارج بالنسبة إلى السيارة التي تنعطف؛ إذا لا تؤثر فيه السيارة بقوة إلى الداخل.

---

6-2 مراجعة

• الحركة الدائرية المنتظمة

ما اتجاه القوة المؤثرة في الملابس في أثناء دوران الغسالة؟ وما الذي يولد هذه القوة؟

• مخطط الجسم الحر

إذا كنت تجلس في المقعد الخلفي لسيارة تنعطف إلى اليمين، فارسم نموذج الجسم النقطي ومخطط الجسم الحر للإجابة عن الأسئلة الآتية:

a. ما اتجاه تسارعك؟
b. ما اتجاه القوة المحصلة المؤثرة فيك؟ وما مصدرها؟

• القوة المركزية

إذا حركت حجراً كتلته 40.0 g مثبتاً في نهاية خيط طوله 0.60 m، في مسار دائري في الهواء بسرعة مقدارها 2.2 m/s، فما مقدار قوة الشد في الخيط؟

• التسارع المركزي

ذكر مقال في جريدة أنه عندما تتحرك سيارة في منعطف فإن على السائق أن يوازن بين القوة المركزية وقوة الطرد المركزي. اكتب رسالة إلى الجريدة تفند فيها هذا المقال.

• القوة المركزية

إذا أردت تحريك كرة كتلتها 7.3 kg في مسار دائري نصف قطره 0.75 m، وبسرعة مقدارها 2.5 m/s، فما مقدار القوة التي عليك أن تؤثر بها لعمل ذلك؟

• التفكير الناقد

إنك تتحرك حركة دائرية منتظمة بسبب دوران الأرض اليومي. ما المصدر الذي يولد هذه القوة التي تؤدي إلى تسارعك؟ وإلى أين تؤثر فيك هذه القوة؟ وكيف تؤثر هذه الحركة في وزنك الظاهري؟