درس حركة المقذوف بالترتيب
درس حركة المقذوف بالترتيب
تجربة استهلالية
كيف يمكن وصف حركة المقذوف؟
سؤال التجربة
هل يمكنك وصف حركة مقذوف في كلا الاتجاهين الأفقي والرأسي؟
الخطوات
- استعن بخلفية مقسمة إلى مربعات على تصوير كرة مقذوفة بالفيديو، على أن تبدأ حركتها بسرعة في الاتجاه الأفقي فقط.
- أنشئ الرسوم البيانية واستخدمها. ارسم موقع الكرة كل 0.1 s على ورقة رسم بياني.
- ارسم شكلين للحركة: أحدهما يوضح الحركة الأفقية للكرة، والآخر يوضح حركتها الرأسية.
التحليل
كيف تتغير سرعة الكرة في الاتجاه الرأسي؟ هل تزداد أم تقل أم تظل ثابتة؟ كيف تتغير سرعة الكرة في الاتجاه الأفقي؟ هل تزداد أم تقل أم تظل ثابتة؟
التفكير الناقد
صف حركة جسم يقذف أفقياً.
6-1 حركة المقذوف
Projectile Motion
الأهداف
- تلاحظ أن الحركتين الأفقية والرأسية للمقذوف مستقلتان.
- تربط بين أقصى ارتفاع يصل إليه المقذوف، وزمن تحليقه في الهواء، وسرعته الابتدائية الرأسية باستعمال الحركة الرأسية.
- تحدد المدى الأفقي باستعمال الحركة الأفقية.
- تفسر كيف يعتمد شكل مسار المقذوف على الإطار المرجعي الذي يلاحظه.
المفردات
- المقذوف.
- مسار المقذوف.
- زمن التحليق.
- المدى الأفقي.
إذا رميت كرة قدم أو قذفتها أو صعدت بقفز فسوف تلاحظ أنها تتحرك في الهواء في مسارات متشابهة، كحركة السهام والطلقات بعد قذفها. وكل مسار من هذه المسارات عبارة عن منحنى يتحرك الجسم فيه إلى أعلى مسافة ما، ثم يغير اتجاهه بعد مدة ويتحرك إلى أسفل. وربما تكون مستمعاً إلى رؤية هذا المنحنى الذي يسمى في الرياضيات القطع المكافئ.
يسمى الجسم الذي يطلق في الهواء مقذوفاً. ما القوى التي تؤثر في الجسم المقذوف بعد إطلاقه؟ يمكنك رسم مخطط الجسم الحر للمقذوف، وتحديد كل القوى المؤثرة فيه، فبغض النظر عن كتلة الجسم المقذوف، فإن مقاومة الهواء مهملة. ويمكن إهمال قوة مقاومة الهواء في أغلب الحالات؛ إذ إن القوة الوحيدة التي تؤثر فيه في أثناء حركته في الهواء هي قوة الجاذبية الأرضية، وهذه القوة هي التي تجعله يتحرك في مسار منحني أو على شكل قطع مكافئ. إن حركة الجسم المقذوف في الهواء تسمى مسار المقذوف. وإذا عرفت السرعة الابتدائية للمقذوف فستتمكن من حساب مسار الجسم.
استقلالية الحركة في بعدين
Independence of Motion in Two Dimensions
إذا وقفت طالبتان إحداهما أمام الأخرى، وقذفتا الكرة، فما شكل مسار حركة الكرة في الهواء كما تشاهده؟ إنه مسار منحنٍ، قطع مكافئ كما تعلمت سابقاً. ترى لماذا تتخذ الكرة هذا المسار؟ تخيل أنك تقف مباشرة خلف أحد اللاعبين وتراقب حركة الكرة عندما تضرب، بم تشبه حركتها؟ ستلاحظ أنها تصعد إلى أعلى، ثم تعود إلى أسفل كأي جسم يقذف رأسياً إلى أعلى في الهواء. ولو كنت تتجه نحو حركة الكرة، فسترى الكرة ترتفع نحو اللاعبين، في حركة تشبه بندولاً صغيراً؛ ستلاحظ أن الكرة تسير أفقياً بسرعة ثابتة من لاعب إلى آخر، أي كجسم ينطلق بسرعة أفقية ابتدائية، مثل حركة قرص مطاطي على جليد ناعم. إن حركة المقذوف هي تركيب لهاتين الحركتين.
لماذا تتحرك المقذوفات بهذه الكيفية؟ إن قوى تؤثر في الكرة بعد أن تغادر يد اللاعب. فإذا أهملت مقاومة الهواء، فإن القوة الوحيدة المؤثرة هي قوة الجاذبية الأرضية إلى أسفل. كيف تؤثر ذلك في حركة الكرة؟ لأن قوة الجاذبية الأرضية إلى أسفل.
يبين الشكل 6-1 مساري كرتين بدأتا الحركة في اللحظة نفسها، ومن الارتفاع نفسه، بحيث تركت الأولى لتسقط سقوطاً رأسياً، وقذفت الثانية بسرعة أفقية ابتدائية مقدارها 2 m/s من الارتفاع نفسه. ما وجه الشبه بين المسارين؟ انظر إلى موقعيهما الرأسيين. إن ارتفاعي الكرتين متساويان في كل لحظة، لذا فإن سرعتيهما الرأسيتين متساويتان خلال فترة زمنية معينة، وتهبطان المسافة الرأسية نفسها في كل لحظة. ويسقطان معاً تحت تأثير الجاذبية الأرضية. لاحظ أن الحركة الأفقية للكرة المقذوفة لا تؤثر في حركتها الرأسية؛ فالمقذوف أفقياً ليس له سرعة ابتدائية رأسية، لذلك فحركته الرأسية تشبه حركة الجسم الذي يسقط رأسياً من السكون، وتزداد السرعة إلى أسفل بانتظام بسبب قوة الجاذبية الأرضية.
تجربة
السقوط من فوق الحافة
أحضر كرتين، كتلة إحداهما ضعف كتلة الثانية.
- توقع أي الكرتين ستصل الأرض أولاً عندما تدحرجهما على سطح طاولة، بحيث تكون سرعتهما متساوية، على أن تسقطا عن الحافة في اللحظة نفسها؟
- توقع أي الكرتين أبعد عن الطاولة لحظة ملامستهما الأرض؟
- فسر توقعاتك.
- اختبر توقعاتك.
التحليل والاستنتاج
- هل تؤثر كتلة الكرة في حركتها؟ وهل الكتلة عامل مؤثر في أي معادلة من معادلات حركة المقذوفات؟
الشكل 6-1
قذفت الكرة التي عن اليمين أفقياً، بينما أسقطت الكرة الأخرى من السكون في اللحظة نفسها. لاحظ أن المواقع الرأسية للكرتين تتساوى في كل لحظة.
يبين الشكل 6-2a مخططين منفصلين للحركتين الأفقية والرأسية لجسم مقذوف؛ حيث يمثل مخطط الحركة الرأسي حركة كرة أسقطت رأسياً، أما مخطط الحركة الأفقي فيمثل حركة أفقية بسرعة ثابتة في اتجاه المحور x للكرة المقذوفة. إن السرعة في الاتجاه الأفقي ثابتة دائماً لعدم وجود قوة تؤثر في الكرة في هذا الاتجاه.
جمعت السرعتان الأفقية والرأسية في الشكل 6-2b لتشكلا السرعة المتجهة الكلية. ويمكن ملاحظة أن السرعة الأفقية الثابتة والتسارع الرأسي المنتظم قد أنتجا معاً مساراً يأخذ شكل القطع المكافئ.
الشكل 6-2
a. يوضح الشكل كيف تصف حركة الجسم إلى مركبتيه الأفقية والرأسية، وأن السرعة الأفقية في اتجاه محور x ثابتة.
b. يبين الشكل أن تحليل السرعة إلى المركبتين الأفقية والرأسية يوضح كيف أن السرعة الأفقية الثابتة والسرعة الرأسية المتزايدة تستخدمان لتحديد السرعة الكلية المناسبة للمسار.
استراتيجيات حل المسألة
الحركة في بُعدين
يمكن تحليل حركة المقذوف في بُعدين عن طريق تحليل الحركة إلى مركبتين متعامدتين.
- حلل حركة المقذوف إلى حركة رأسية في اتجاه المحور y، وأخرى أفقية في اتجاه المحور x.
- الحركة الرأسية للمقذوف تشبه حركة جسم قذف رأسياً إلى أعلى أو أسقط أو قذف رأسياً إلى أسفل، حيث تؤثر قوة الجاذبية الأرضية في الجسم وتسبب تسارعاً بمقدار g. راجع القسم 3-3 لتذكيرك حول مسائل السقوط الحر.
- تحليل الحركة الأفقية للمقذوف يشبه تماماً مسألة حركة جسم يتحرك أفقياً بسرعة متجهة ثابتة. فعند إهمال مقاومة الهواء لا توجد قوة أفقية تؤثر في الجسم، ولأنه لا توجد قوى تؤثر في المقذوف في الاتجاه الأفقي فلا يوجد تسارع أفقي؛ أي إن:
ax = 0.0
- تذكر أن الزمن المشترك بين الحركتين الأفقية والرأسية هو نفسه، لذا استخدم الزمن نفسه للحركتين الأفقية والرأسية. ولذلك عند حساب الزمن لإحدى الحركتين تكون قد حسبت الزمن للحركة الثانية.
مسائل تدريبية
- قذف حجر أفقياً بسرعة 5.0 m/s من فوق سطح بناية ارتفاعها 78.4 m.
a. ما الزمن الذي يستغرقه الحجر للوصول إلى أسفل البناية؟
b. على أي بعد من قاعدة البناية يسقط الحجر على الأرض؟
c. ما مقدار المركبتين الرأسية والأفقية لسرعة الحجر قبل اصطدامه بالأرض؟
- يشترك عمر وصديقه في إعداد نموذج لصنع قذافات خشبية. وعند خط الإنتاج تنطلق القذافات أفقياً من حافة حزام ناقل وتسقط داخل صندوق في الأسفل. فإذا كان الصندوق يقع على بعد 0.6 m أسفل الحزام، وعلى بعد أفقي مقداره 0.4 m منه، فما مقدار السرعة الأفقية للقذافات عندما تترك الحزام الناقل؟
المقذوفات التي تنطلق بزاوية
Projectiles Launched at an Angle
عندما يطلق مقذوف بزاوية ما يكون لسرعته الابتدائية مركبتان: إحداهما أفقية، والأخرى رأسية. فإذا قذفت جسماً إلى أعلى فإنه يرتفع بسرعة تتناقص حتى يصل إلى أقصى ارتفاع له، ثم يبدأ في السقوط بسرعة متزايدة. لاحظ الشكل 6-3a الذي يمثل المركبتين الأفقية والرأسية لسرعة المقذوف. ففي نظام إحداثي يكون المحور الأفقي x والرأسي y، لاحظ أن مقدار السرعة في الاتجاه الأفقي ثابت في أثناء الصعود والنزول عند نقطة في الاتجاه الرأسي، ويكون الاختلاف الوحيد بينهما في اتجاه السرعة؛ فهما متعاكسان.
يوضح الشكل 6-3b كميتين ترافقان مسار المقذوف: إحداهما هي أقصى ارتفاع يصل إليه المقذوف، حيث يكون هناك سرعة أفقية فقط؛ لأن سرعته الرأسية صفر. أما الكمية الأخرى فهي المدى الأفقي R، وهي المسافة الأفقية التي يقطعها المقذوف. أما زمن التحليق فهو الزمن الذي يقضيه المقذوف في الهواء.
الشكل 6-3
- vx عند كل موضع يشير إلى اتجاه x.
- vy عند كل موضع يشير إلى اتجاه التحليق.
مثال 1
تحليق كرة
قذفت كرة بسرعة متجهة 4.5 m/s في اتجاه يصنع زاوية 66° على الأفقي. ما أقصى ارتفاع تصل إليه الكرة؟ وما زمن تحليقها عندما تعود إلى المستوى نفسه الذي قذفت منه؟
1 تحليل المسألة ورسمها
- ارسم نظام المحاور على أن يكون الموضع الابتدائي للكرة عند نقطة الأصل.
- بيّن مواقع الكرة عند بداية حركتها وعند أقصى ارتفاع تصل إليه، وعند نهاية تحليقها.
المعلوم:
yi = 0.0 m
θi = 66°
vi = 4.5 m/s
ay = -g
المجهول:
ymax = ?
t = ?
2 إيجاد الكمية المجهولة
احسب المركبة الرأسية للسرعة الابتدائية vyi:
vyi = vi sin θi
vyi = (4.5 m/s)(sin 66°)
vyi = 4.1 m/s
أوجد صيغة أو معادلة للزمن t:
vy = vyi + ay t
vy = vyi - g t
عند أقصى ارتفاع تكون السرعة الرأسية:
vy = 0.0 m/s
إذن:
t = (vyi - vy) / g
t = (4.1 m/s - 0.0 m/s) / 9.80 m/s²
t = 0.42 s
أوجد أقصى ارتفاع:
Δy = vyi t + 1/2 ay t²
ymax = yi + vyi t + 1/2 ay t²
ymax = 0.0 m + (4.1 m/s)(0.42 s) + 1/2 (-9.80 m/s²)(0.42 s)²
ymax = 0.86 m
احسب الزمن اللازم للعودة إلى الأرض نفسها لحظة الإطلاق:
زمن التحليق = زمن الصعود + زمن النزول
زمن التحليق = 2t
2t = 2(0.42 s)
2t = 0.84 s
3 تقويم الجواب
- هل الوحدات صحيحة؟ يبين تحليل الوحدات أن الوحدات صحيحة.
- هل للإشارات معنى؟ يجب أن تكون كل إشارة موجبة.
- هل الجواب منطقي؟ يبدو الزمن قليلاً، ولكن السرعة المتجهة الابتدائية الكبيرة تبرر ذلك.
مسائل تدريبية
- قذف لاعب كرة من مستوى الأرض بسرعة ابتدائية 27.0 m/s في اتجاه يميل على الأفقي بزاوية مقدارها 30.0° كما في الشكل 6-4. أوجد كلاً من الكميات الآتية، علماً أن مقاومة الهواء مهملة:
a. زمن تحليق الكرة.
b. أقصى ارتفاع تصله الكرة.
c. المدى الأفقي للكرة.
الشكل 6-4
مسار الكرة.
- قذف لاعب البيسبول الكرة بالسرعة نفسها في اتجاه يصنع زاوية 60.0° على الأفقي، فما زمن تحليق الكرة؟ وما المدى الأفقي؟ وما أقصى ارتفاع تصله الكرة؟
- تقذف كرة من أعلى بناية ارتفاعها 50.0 m بسرعة ابتدائية 7.0 m/s في اتجاه يصنع زاوية 53.0° على الأفقي. أوجد مقدار واتجاه سرعة الكرة لحظة اصطدامها بالأرض.
مسارات المقذوفات تعتمد على موقع المشاهد
Trajectories Depend upon the Viewer
افترض أنك تجلس في حافلة، وقذفت كرة إلى أعلى ثم التقطتها عند عودتها إلى أسفل. تبدو الكرة لك أنها سلكت مساراً مستقيماً إلى أعلى وإلى أسفل. لكن ما الذي يشاهده مراقب يقف على الرصيف؟ سيشاهد المراقب الكرة تغادر يدك وترتفع إلى أعلى ثم تعود مرة أخرى إلى يدك. ولأن الحافلة تتحرك، فإن يدك تتحرك أيضاً، وسيكون ليدك والحافلة والكرة السرعة المتجهة الأفقية نفسها. لذا يبدو مسار الكرة مشابهاً لمسار الكرة التي في المثال السابق.
مقاومة الهواء
لاحظ أننا أهملنا أثر مقاومة الهواء في حركة المقذوفات حتى الآن، وقد تكون مقاومة الهواء قليلة جداً تجاه بعض المقذوفات، إلا أنها تكون كبيرة تجاه مقذوفات أخرى. ففي كرة الجولف مثلاً تؤدي النتوءات الصغيرة على سطح الكرة إلى تقليل مقاومة الهواء، ومن ثم إلى زيادة المدى الأفقي. أما في كرة البيسبول فإن دورانها حول نفسها يجعلها تتأثر بقوى تؤدي إلى انحرافها عن مسارها. من المهم أن نتذكر أن قوة مقاومة الهواء، في حال وجودها، قد تكون مهمة.
6-1 مراجعة
- رسم تخطيطي للجسم الحر
يتزلق مكعب من الجليد على سطح طاولة دون احتكاك وبسرعة متجهة ثابتة، إلى أن يغادر حافة الطاولة ساقطاً في اتجاه الأرض. ارسم مخطط الجسم الحر للمكعب، وكذلك نموذج الجسم النقطي مبيناً التسارع عند نقطتين على سطح الطاولة ونقطتين في الهواء.
- حركة المقذوف
تقذف كرة في الهواء بزاوية 50.0° بالنسبة إلى المحور الرأسي، وبسرعة ابتدائية 11.0 m/s. احسب أقصى ارتفاع تصله الكرة.
- الحركة الأفقية
قذفت كرة تنس من نافذة تقع 28 m فوق سطح الأرض بسرعة ابتدائية مقدارها 15.0 m/s، وبزاوية 20.0° تحت الأفقي. ما المسافة التي تتحركها الكرة أفقياً قبل اصطدامها بالأرض؟
- التفكير الناقد
افترض أن جسماً قذف بالسرعة نفسها وفي الاتجاه نفسه على الأرض والقمر. فإذا عرفت أن قيمة تسارع الجاذبية على القمر g تساوي 1/6 قيمته على الأرض، وضح كيف تتغير الكميات الآتية:
a. vx
b. زمن تحليق الجسم
c. ymax
d. R
جاري تحضير الدرس المعاد صياغته وبناء الأنماط
نحافظ على المعنى العلمي ونربط كل فقرة بنواتجها ومفاهيمها.
إعادة إنتاج الدرس حسب نمط التعلم
طلب واحد ينتج المسارات البصري والسمعي والحركي والقرائي معًا، بصياغة تراعي سياق المناهج السعودية.
اختر نمط التعلم
تُنتج الأنماط الأربعة دفعة واحدة، ثم تُستدعى الحزمة المحفوظة في الزيارات التالية.