درس السرعة المتجهة النسبية بالترتيب

درس السرعة المتجهة النسبية بالترتيب

6-3 السرعة المتجهة النسبية

Relative Velocity

الأهداف

• تحلل الحالات تكون فيها مجموعة المحاور متحركة.
• تحل مسائل تتعلق بالسرعة النسبية.

افترض أنك في قطار يتحرك بسرعة 20 m/s في اتجاه موجب، وأن صديقاً لك يقف ثابتاً بجانب سكة الحديد ويراقب حركة القطار الذي تستقله عند مروره أمامه، ويرصد سرعته.

ما مقدار السرعة التي يسجلها صديقك للقطار ولحركتك؟ إذا كان القطار يسير بسرعة 20 m/s، وأنت تجلس داخله، فهذا يعني أن سرعتك 20 m/s كما يقيسها صديقك الذي يراقب حركتك من نقطة ثابتة على الأرض؛ لأن مقعدك يتحرك بالنسبة إلى صديقك الثابت على الأرض بسرعة 20 m/s.

لكن يمكن أن تكون سرعتك بالنسبة إلى القطار تساوي صفراً إذا كنت جالساً داخل القطار. وإذا كنت تسير بسرعة 1 m/s في اتجاه مقدمة القطار داخل القطار، فهذا يعني أن سرعتك تقاس بالنسبة إلى القطار. أما مقدار سرعتك بالنسبة إلى كل من القطار وصديقك الثابت على الأرض لحظة مرور القطار أمامه، فيمكن إعادة صياغة السؤال كالتالي: إذا أضيفت سرعة القطار بالنسبة إلى الأرض، وسرعتك بالنسبة إلى القطار، فكيف تقيس سرعتك بالنسبة إلى رصد ثابت على الأرض؟

يبين الشكل 6-9a تمثيلاً اتجاهياً لهذه المسألة، وسوف تجد عند دراسة أن سرعتك بالنسبة إلى راصد ثابت يقف على الأرض هي:

21 m/s

أي مجموع سرعتك بالنسبة إلى القطار وسرعة القطار بالنسبة إلى الأرض.

افترض الآن أنك كنت تسير بالسرعة نفسها، لكن في اتجاه مؤخرة القطار، فما سرعتك الآن بالنسبة إلى راصد ثابت يقف على الأرض؟ يبين الشكل 6-9b أنه إذا كنت تسير في الاتجاه المعاكس بسرعة مقدارها 1 m/s، فإن ذلك يعني أن سرعتك لحظة مرور القطار أمامه، أي الفرق بين سرعة القطار بالنسبة إلى الأرض وسرعتك بالنسبة إلى القطار، تساوي:

19 m/s

وهكذا نجد أنه إذا كانت الحركة في خط مستقيم فإن الجمع والطرح يستعملان لإيجاد السرعة المتجهة النسبية.

الشكل 6-9

عندما يتحرك نظام المحاور فإن السرعتين تضافان إذا كانت الحركتان في اتجاه واحد، وتطرح إحداهما من الأخرى إذا كانت الحركتان متعاكستين.

ولو أمعنت النظر في كيفية الحصول على نتائج السرعة، وحاولت وضع صيغة رياضية لوصف كيفية جمع السرعات في هذا الواقع لحساب السرعة النسبية في المثال السابق، فإنك يمكن أن تسمي سرعة القطار بالنسبة إلى الأرض vT/E، وسرعتك بالنسبة إلى القطار vY/T، وسرعتك بالنسبة إلى الأرض vY/E.

حيث ترمز Y لك، وترمز T للقطار، و E للأرض. ولحساب سرعتك بالنسبة إلى الأرض نجمع اتجاهياً سرعتك بالنسبة إلى القطار، وسرعة القطار بالنسبة إلى الأرض على النحو الآتي:

vY/E = vY/T + vT/E

وتكتب المعادلة الرياضية السابقة عموماً على النحو الآتي:

السرعة المتجهة النسبية

va/c = va/b + vb/c

سرعة الجسم a بالنسبة إلى الجسم c هي حاصل الجمع الاتجاهي لسرعة الجسم a بالنسبة إلى الجسم b، ثم سرعة الجسم b بالنسبة إلى الجسم c.

ينطبق هذا المبدأ في جمع السرعات النسبية على الحركة في بعدين أيضاً. فمثلاً لا يتوقع الملاحون الجويون الوصول إلى هدفهم فقط بتوجيه طائراتهم في اتجاه البوصلة؛ لذلك عليهم الأخذ بعين الاعتبار سرعتهم بالنسبة إلى الهواء واتجاه هذه السرعة، وكذلك سرعة الرياح واتجاهها عند الارتفاع الذي يطيرون عنده. ويجب جمع هذين المتجهين، كما في الشكل 6-10، للحصول على سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض. وسوف تعرف أن متجه السرعة المحصل للطائرة الذي يجب أن تسير به الطائرة، واتجاهها الذي يوجهها للوصول إلى مقصدهم. والوضع مشابه عند حركة قارب في تيار متحرك من الماء.

الشكل 6-10

يمكن إيجاد السرعة المتجهة للطائرة بالنسبة إلى الأرض بالجمع الاتجاهي.

مثال 3

السرعة المتجهة النسبية لكرة

ركب أحمد وجمال قارباً يتحرك في اتجاه الشرق بسرعة 4.0 m/s. دحرج أحمد كرة بسرعة 0.75 m/s في اتجاه الشمال عبر عرض القارب في اتجاه جمال. ما سرعة الكرة المتجهة بالنسبة إلى الماء؟

1 تحليل المسألة ورسمها

• أنشئ مجموعة محاور.
• ارسم متجهات لتمثيل سرعة القارب بالنسبة إلى الماء، وسرعة الكرة بالنسبة إلى القارب، بحيث ترمز m للكرة، و b للقارب، و w للماء.

المعلوم:

vb/w = 4.0 m/s
vm/b = 0.75 m/s

المجهول:

vm/w = ?

2 إيجاد الكمية المجهولة

بما أن السرعتين متعامدتان، استعمل نظرية فيثاغورس:

(vm/w)² = (vm/b)² + (vb/w)²

vm/w = √((vm/b)² + (vb/w)²)

بالتعويض:

vm/w = √((0.75 m/s)² + (4.0 m/s)²)

vm/w = 4.1 m/s

لحساب مقدار الزاوية التي تتحرك بها الكرة:

θ = tan⁻¹ (vm/b / vb/w)

θ = tan⁻¹ (0.75 m/s / 4.0 m/s)

θ = 11° شمال الشرق

إذن تتحرك الكرة بسرعة 4.1 m/s في اتجاه يصنع زاوية 11° شمال الشرق.

3 تقويم الجواب

• هل الوحدات صحيحة؟ ستكون السرعة بوحدة m/s.
• هل للإشارات معنى؟ ستكون الإشارات جميعها موجبة.
• هل الجواب منطقي؟ السرعة المحسوبة قريبة من القيم الأخرى للسرعة المعطاة في المثال.

مسائل تدريبية

• إذا كنت تركب قطاراً يتحرك بسرعة مقدارها 15.0 m/s بالنسبة إلى الأرض، وركضت مسرعاً في اتجاه مقدمة القطار بسرعة 2.0 m/s بالنسبة إلى القطار، فما سرعتك بالنسبة إلى الأرض؟

• يتحرك قارب في نهر بسرعة 2.5 m/s بالنسبة إلى الماء، بينما يسجل سرعة ذلك القارب راصد يقف على ضفة النهر فيجدها 0.5 m/s بالنسبة إليه. ما سرعة ماء النهر؟ وهل يتحرك ماء النهر في اتجاه حركة القارب أم في اتجاه معاكس؟

• تطير طائرة في اتجاه الشمال بسرعة 150 km/h بالنسبة إلى الهواء، وتهب عليها رياح في اتجاه الشرق بسرعة 75 km/h بالنسبة إلى الأرض. ما سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض؟

الربط مع الحياة

تهاجر طيور الخرشنة من جنوب شرق آسيا، فتصل إلى شواطئ الخليج العربي في فصل الربيع. ويتوقف نجاح طيور الخرشنة في الوصول إلى وجهتها في الوقت المناسب على فصل حسابات دقيقة تتعلق باتجاه حركة الرياح وسرعتها، بالإضافة إلى السرعة المتجهة للطيور نفسها بالنسبة إلى سطح الأرض. وتعتمد هذه الطيور، مثلها في ذلك مثل الطيارين على جمع السرعات المتجهة النسبية.

ويوضح سلوكها عظمة الخالق سبحانه وتعالى بما أودعه في هذه المخلوقات من تراكيب وما فطرها عليه من سلوك. فلو أن أحد هذه الطيور حلّق فوق الخليج العربي بحيث يواجه رياحاً قوية معاكسة لاتجاه حركته، فإن طاقته سوف تنفد قبل وصوله إلى الشاطئ الآخر. ولكنه بفضل ما وهبه الله من قدرات يستطيع الطيران في اتجاه عمودي على اتجاه حركة الطائر، ليستفيد من انحرافه تدريجياً عبر مساره ومن ثم يتجه نحو وجهته.

وقد زود الخالق سبحانه وتعالى هذه الطيور بأدوات ملاحية طبيعية تتيح لها الطيران بسرعات متعددة في اتجاهات دقيقة، ما يمكنها من بلوغ وجهتها. ويمكنك جمع السرعات المتجهة النسبية بطريقة الرسم التي تعلمتها في الفصل السابق.

تذكر أن مفتاح التحليل الصحيح لمسائل السرعة المتجهة النسبية في بعدين هو الرسم الصحيح لمجموع المتجهات للسرعات المتجهة الثلاث. وعند رسم هذا المثلث يمكنك تطبيق مبدأ جمع المتجهات، كما تعلمت في الفصل الخامس. فإذا كان هناك مثلث قائم الزاوية فإنه يمكنك تطبيق نظرية فيثاغورس، أما إذا كانت الزاوية غير قائمة فلا بد من استعمال قانون الجيب أو جيب التمام أو كليهما.

تجربة عملية

السرعة النسبية

ارجع إلى دليل التجارب منصة عين الإثرائية.

مسألة تحفيز

يدور طارق حجراً كتلته 80 g مربوطاً بحبل في مسار دائري أفقي فوق رأسه. فكان ارتفاع الحجر فوق سطح الأرض h، وبعد لحظة معينة قطع الحبل. وعندما عرف أن سرعة الحجر في الحبل vi، وعندما انفلت الحجر من يده بالنسبة إلى الأرض، بسرعة أفقية من لحظة انقطاع الحبل إلى ارتطامه بالأرض.

أوجد تعبيراً رياضياً للحسابات بدلالة كل من:

FT ، g ، m ، r ، h

هل يتغير التعبير الرياضي إذا تحرك طارق بسرعة 0.50 m/s بالنسبة إلى الأرض؟

6-3 مراجعة

• السرعة النسبية

قارب صيد سرعته القصوى 3 m/s بالنسبة إلى ماء نهر يجري بسرعة 2 m/s. ما أقصى سرعة يصل إليها القارب بالنسبة إلى ضفة النهر؟ وما أدنى سرعة؟ وإذا كانت السرعة القصوى إلى أي اتجاه بالنسبة إلى الماء في الحالتين السابقتين؟

• السرعة النسبية لقارب

يسير قارب سريع في اتجاه الشمال الغربي بسرعة 13 m/s بالنسبة إلى ماء نهر متجه في اتجاه الشمال بسرعة 5.0 m/s. احسب السرعة المتجهة للقارب بالنسبة إلى ضفة النهر. ما مقدار سرعة القارب بالنسبة إلى ضفة النهر؟ وما اتجاهها؟

• السرعة النسبية

تطير طائرة في اتجاه الجنوب بسرعة 175 km/h بالنسبة إلى الهواء، وهناك رياح تهب في اتجاه الشرق بسرعة 85 km/h بالنسبة إلى الأرض. ما مقدار سرعة الطائرة واتجاهها بالنسبة إلى الأرض؟

• السرعة النسبية لطائرة

تطير طائرة شمالاً بسرعة 235 km/h بالنسبة إلى الهواء، وتهب رياح في اتجاه الشمال الشرقي بسرعة 65 km/h بالنسبة إلى الأرض. احسب مقدار واتجاه سرعة الطائرة بالنسبة إلى الأرض.

• التفكير الناقد

إذا كنت تعبر نهراً بقارب يتحرك ماؤه بسرعة كبيرة، وتريد أن تصل إلى الرصيف في الجهة المقابلة تماماً لنقطة انطلاقك، فصف كيف توجه القارب بدلالة مركبتي سرعتك بالنسبة إلى الماء؟