الرياضيات والفيزياء

1-1 الرياضيات والفيزياء

Mathematics and Physics

الأهداف

• توضح الطريقة العلمية.
• تجري العمليات الحسابية وفقاً لقوانين فيزيائية، وباستخدام التعبير العلمي.

المفردات

• الفيزياء
• الطريقة العلمية
• الفرضية
• النماذج العلمية
• القانون العلمي
• النظرية العلمية

ما الذي يخطر ببالك عندما ترى أو تسمع كلمة فيزياء؟ يتخيل كثير من الناس صورة كتب عليها معادلات رياضية فيزيائية مثل:

d = 1/2 at² + v₀t + d₀
I = V / R
E = mc²

ولعلك تتخيل علماء وباحثين يرتدون معطف المختبر الأبيض، وقد تتخيل وجوهاً مشهورة في عالم الفيزياء مثل ألبرت أينشتاين أو إسحق نيوتن وغيرهما، وقد تفكر في الكثير من التطبيقات التقنية الحديثة التي طورها علم الفيزياء، ومنها الأقمار الاصطناعية، والكمبيوتر المحمول، وأشعة الليزر، وغيرها.

ما الفيزياء؟

What is Physics?

الفيزياء فرع من فروع العلم يعنى بدراسة العالم الطبيعي: الطاقة والمادة وكيفية ارتباطهما. فعلماء الفيزياء يدرسون طبيعة حركة الإلكترونات والصواريخ، والطاقة في الموجات الضوئية والصوتية، وفي الدوائر الكهربائية، ومكونات الكون وأصل المادة. إن الهدف من دراسة هذا الكتاب هو مساعدتك على فهم العالم الفيزيائي من حولك.

يعمل دارسو الفيزياء في مجالات ومهن عديدة؛ فبعضهم يعمل باحثاً في الجامعات والكليات أو في المصانع ومراكز الأبحاث، والبعض الآخر يعمل في المجالات الأخرى المرتبطة مع علم الفيزياء، ومنها الفلك والهندسة وعلم الحاسب وعلم التعليم والصيدلة. وهناك آخرون يستخدمون مهارات حل المشكلات الفيزيائية في مجالات الأعمال التجارية والمالية وغيرها.

الرياضيات في الفيزياء

Mathematics in Physics

يستخدم علماء الفيزياء الرياضيات بوصفها لغة قادرة على التعبير عن القوانين والظواهر الفيزيائية بشكل واضح ومفهوم. وفي علم الفيزياء تمثل المعادلات الرياضية أداة مهمة لنمذجة المشاهدات ووضع التوقعات لتفسير الظواهر الفيزيائية المختلفة. فالعودة إلى التجربة الاستهلالية تجعلك تستطيع أن تتوقع أنه عند إسقاط قطع النقد المعدنية فإنها تسقط في اتجاه الأرض. ولكن بأي سرعة تسقط؟ يمكنك التعبير عن سقوط القطع المعدنية بنماذج مختلفة يعطي كل منها إجابة مختلفة عن طريقة تغير السرعة في أثناء السقوط، أو ما يعتمد عليه هذه السرعة. وبحساب سرعة الجسم الساقط يمكنك مقارنة نتائج التجربة بما توقعته في النماذج السابقة، مما يتيح لك اختبار أفضلها، والشروع في تطوير نموذج رياضي جديد يعبّر عن الظاهرة الفيزيائية بشكل أفضل.

يمكن تمثيل بعض المعلومات بيانياً؛ فهي تتيح الوصول إلى المعلومات بشكل سريع وسهل. فالألفاظ التي لا يمكن رؤيتها بسهولة في قائمة من الأرقام تأخذ شكلاً واضحاً ومحدداً عندما تمثل بالرسم. وقد تأخذ النقاط المبعثرة في الرسم البياني عدة أشكال عند توصيلها معاً بخطوط المواءمة الأفضل، وهو أفضل خط بياني يمر بالنقاط كلها تقريباً. فعند توصيل النقاط المبعثرة في الشكل المجاور نحصل على علاقة خطية طردية بين المتغيرين x و y. ولتعرف العلاقات الأخرى ارجع إلى دليل الرياضيات في آخر الكتاب، وكذلك الرياضيات للصف الثالث المتوسط: العلاقات الخطية والعلاقات التربيعية.

الشكل 1-1

رسم بياني للعلاقة بين المتغيرين x و y.

مثال 1

فرق الجهد الكهربائي V في دائرة كهربائية يساوي حاصل ضرب شدة التيار الكهربائي I في المقاومة الكهربائية R في تلك الدائرة، أي أن:

V(volts) = I(amperes) × R(ohms)

ما مقاومة مصباح كهربائي يمر فيه تيار كهربائي مقداره 0.75 amperes عند وصله بفرق جهد مقداره 120 volt؟

1 تحليل المسألة ورسمها

إعادة كتابة المعادلة.
تعويض القيم.

المعلوم:
I = 0.75 amperes
V = 120 volts

المجهول:
R = ?

2 إيجاد الكمية المجهولة

نعيد كتابة المعادلة ليكون المجهول وحده على الطرف الأيسر للمعادلة.

V = IR
IR = V
R = V / I

بالتعويض:
R = 120 volts / 0.75 amperes
R = 160 ohms

يمكن طرفا المعادلة بقسمة كلا الطرفين على I.

V = 120 volts
I = 0.75 amperes

نحصل على المقاومة بوحدة Ω، أي ohms.

3 تقويم الجواب

هل الوحدات صحيحة؟
1 volt = 1 ampere . 1 ohm، وتلاحظ أن الجواب بوحدة volts/ampere، وهذه الوحدة هي وحدة ohms نفسها، كما هو متوقع.

هل الجواب منطقي؟
قسم الرقم 120 على عدد أقل قليلاً من 1، فمن المنطقي أن يكون الجواب أكبر قليلاً من 120.

مسائل تدريبية

أعد كتابة المعادلات المستخدمة في حل المسائل الآتية، ثم احسب المجهول:

• وصّل مصباح كهربائي مقاومته 50.0 Ω في دائرة كهربائية مع بطارية فرق جهدها 9.0 volts. ما مقدار التيار الكهربائي المار في المصباح؟ علماً بأن معادلة أوم تعطى بالعلاقة:

V = I × R

• إذا تحرك جسم من السكون بتسارع ثابت a فإن سرعته v بعد زمن مقداره t تعطى بالعلاقة:

vf = at
ما تسارع دراجة تتحرك من السكون لتصل سرعتها إلى 6 m/s خلال زمن قدره 4 s؟

• ما الزمن الذي تستغرقه دراجة إذا تغيرت سرعتها من السكون بمقدار 0.400 m/s²، حتى تبلغ سرعتها 4.00 m/s؟

علماً بأن:
vf = at

• يحسب الضغط P المؤثر في سطح ما بقسمة مقدار القوة F المؤثرة عمودياً على مساحة السطح A، حيث:

P = F / A
فإذا أثر رجل وزنه 520 N يقف على الأرض بضغط مقداره 32500 N/m²، فما مساحة نعلي الرجل؟

هل هذا منطقي؟

تستخدم أحياناً وحدات غير مألوفة، كما في الشكل 1-2، وتحتاج إلى التقدير للتحقق من أن الإجابة منطقية من الناحية الرياضية. وفي أحيان أخرى تستطيع التحقق من أن الإجابة توافق مع خبرتك، كما هو واضح من الشكل 1-2. عندما تتعامل مع تجربة الأجسام الساقطة تحقق من أن زمن سقوط الجسم الذي تحسبه يتوافق مع خبرتك؛ فعندما تقفز عن الكرسي المتحرك إلى سطح من ارتفاع 1.5 m أو 0.002 s أو إلى 17 s حتى تصل إلى سطح الأرض؟ طبعاً كلتا الإجابتين غير منطقية.

الشكل 1-2

القيم المقننة لسرعة سيارة.

الطريقة العلمية

Scientific Method

تعد الطريقة العلمية أسلوباً للإجابة عن تساؤلات علمية بهدف تفسير الظواهر الطبيعية المختلفة. وتبدأ بطرح أسئلة بناءً على مشاهدات، ثم محاولة البحث عن إجابات منطقية لها عن طريق وضع الفرضيات.

الفرضية تخمين علمي عن كيفية ارتباط المتغيرات بعضها ببعض. ولاختبار صحة الفرضية يتم تصميم التجارب العلمية وتنفيذها، وتسجيل النتائج وتنظيمها، ثم تحليلها في محاولة لتفسير النتائج أو توقع إجابات جديدة. ويجب أن تكون التجارب والنتائج قابلة للتكرار عند قيام باحث آخر بإعادة التجربة والحصول على النتائج نفسها. ويوضح الشكل 1-3 مجموعة من الطلاب وهم يجرون تجربة فيزيائية لقياس المعدل الزمني للشغل الذي يبذله كل منهم في أثناء صعود الدرج، أي قدرة كل منهم.

تجربة

قياس التغير

اجمع خمس حلقات معدنية متماثلة. ولاحظ بتحليل بنية مجموعة منها تعلق به حلقة معدنية.

• قس طول النابض، ثم قسّه عند تعليق حلقة، ثم حلقتين، ثم 3 حلقات معدنية به.
• ارسم بيانياً العلاقة بين طول النابض والكتلة المعلقة به.
• توقع طول النابض عند تعليق 4 حلقات به، ثم 5.
• اختبر توقعاتك.

التحليل والاستنتاج

• صف شكل الرسم البياني، وكيف تستخدمه لتتوقع طولين جديدين؟

الشكل 1-3

يجري هؤلاء الطلاب تجربة لتحديد قدرة كل منهم عند صعود الدرج، ويستخدمون فيها الأجهزة اللازمة لرفع ثقل مختلف باستخدام القدرة نفسها.

النماذج والقوانين والنظريات

يطلق على نمذجة فكرة أو معادلة أو تركيب أو نظام لظاهرة تحاول تفسيرها النماذج العلمية. وهناك أنواع متعددة منها: النماذج الفيزيائية والحاسوبية والفكرية وغيرها، وهي تعتمد على التجريب، وتساعد على تصور أو تخيل الأشياء التي يصعب رؤيتها. ودرس الكيمياء تعيد إلى الأذهان النماذج المختلفة للذرة التي استخدمت عبر الزمن؛ حيث تعاقب ظهور نماذج ذرية جديدة بهدف تفسير المشاهدات والقياسات الحديثة.

وإذا لم تؤكد البيانات الجديدة صحة النموذج وجب إعادة اختباره كله. ويظهر الشكل 1-4 مثالاً تاريخياً على ذلك. وإذا أثيرت تساؤلات حول نموذج علمي معتمد يقوم الفني بابتداء أو لا يستطيع هذه البيانات أن يعين خاتل؟ من مصدقه؟ هل يستطيع أي شخص الحصول على النتائج نفسها عند البحث؟ هل هناك متغيرات أخرى؟ وإذا دلت معلومات جديدة عن تجارب لاحقة فيجب تغيير النظريات لتعكس المكتشفات الجديدة.

الشكل 1-4

في منتصف الستينيات من القرن الماضي حاول بعض العلماء - من دون جدوى - إزالة التشويش المستمر في الهوائي مستخدمين عدة حيل لتقليله. واكتشفوا أن من المعروف أن التشويش المستمر المزعج مثل الصوت الذي يصدره التلفاز عند انقطاع البث، ناتج من موجات ضعيفة تصدر من الفضاء الخارجي. وقد عُدَّ ذلك دعماً تجريبياً لنظرية الانفجار العظيم.

فعلى سبيل المثال، كان الاعتقاد السائد في القرن التاسع عشر أن العلامات الخطية التي يمكن رؤيتها على كوكب المريخ عبارة عن قنوات، كما هو موضح في الشكل 1-5a. وبعد تطور المنظار الفلكية التلسكوبات أثبت العلماء أنه لا يوجد مثل هذه الملاحظات، كما هو واضح في الشكل 1-5b.

وفي الوقت الحالي، باستخدام أجهزة أفضل، وجد العلماء دلائل تشير إلى أن الماء كان موجوداً على سطح المريخ في الماضي، كما هو موضح في الشكل 1-5c. إن أي اكتشاف جديد يعني ظهور تساؤلات جديدة ومجالات جديدة للاستكشاف.

الشكل 1-5

يظهر رسم المشاهدات المأخوذة من المناظير الفلكية القديمة قنوات على سطح كوكب المريخ a، ولا تظهر هذه القنوات في الصور الحديثة المأخوذة من مناظير فلكية متطورة b، وتظهر صخور رسوبية طينية في صورة أحدث لسطح المريخ مما يشير إلى أن هذه الطبقات قد تكونت في مياه راكدة c.

القانون العلمي

القانون العلمي قاعدة طبيعية تجمع مشاهدات مترابطة لوصف ظاهرة طبيعية متكررة، ويعبر عنها بعبارة تصف العلاقة بين متغيرين أو أكثر، ويمكن التعبير عن هذه العلاقة في معظم الحالات بمعادلة رياضية. فعلى سبيل المثال ينص قانون حفظ الشحنة على أنه خلال التحولات المختلفة للمادة تبقى الشحنة الكهربائية ثابتة قبل التحول وبعده. وينص قانون الانعكاس على أن زاوية سقوط الضوء تساوي أو لا في خط الحاكم تساوي زاوية انعكاسه عن السطح نفسه. لاحظ أن القانون لا يفسر سبب حدوث هذه الظواهر ولكنه يقدم وصفاً لها.

النظرية العلمية

النظرية العلمية إطار يجمع بين عناصر البناء العلمي في موضوع من موضوعات العلم، وهو قادر على تفسير المشاهدات والملاحظات المدعومة بنتائج تجريبية لا تتعارض مع نظرية أخرى في موضوع آخر من موضوعات العلم. وهي بذلك تشتمل على عناصر البناء العلمي كافة، من فرضيات وحقائق ومفاهيم وقوانين ونماذج؛ فالنظرية قد تكون تفسيراً للقوانين، وهي أفضل تفسير ممكن لمبدأ عمل الأشياء. فعلى سبيل المثال، تنص نظرية الجاذبية الكونية على أن جميع الكتل في الكون تنجذب إلى كتل أخرى ويجذب بعضها بعضاً. وقد تراجع القوانين والنظريات أو تهمل عبر الزمن، كما هو واضح في الشكل 1-6. ويطلق اسم نظرية فقط على التفسير الذي تدعمه قوة نتائج التجارب العلمية.

الشكل 1-6

تتغير النظريات وتهمل عندما تظهر التجارب الجديدة ملاحظات جديدة. نظرية سقوط الأجسام مثلاً خضعت للكثير من التعديل والمراجعة.

محتوى الشكل 1-6

اعتقد فلاسفة الإغريق أن الأجسام تسقط لأنها تبحث عن أماكنها الطبيعية، وكلما كانت كتلة الأجسام أكبر كان سقوطها أسرع.

مراجعة

وضح جاليليو أن سرعة سقوط الأجسام تعتمد على زمن سقوطها لا على كتلتها.

مراجعة

رأى جاليليو كان صحيحاً، إلا أن نيوتن أرجع سبب سقوط الأجسام إلى وجود قوة تجاذب بين الأرض وبين هذه الأجسام.

مراجعة

ما زالت مقترحات جاليليو ونيوتن في سقوط الأجسام تحتفظ بصحتها، وافترض أينشتاين فيما بعد أن قوة التجاذب بين جسمين إنما هي بسبب الكتلة التي تؤدي إلى تحدب الفضاء الزمكاني حولها.